¿Es racional la raíz cúbica de un número primo?

Question

La cuestión es: si $P$ es primo, es $P^{1/3}$ ¿Racional?

He podido comprobar que si $P$ es primo entonces la raíz cuadrada de $P$ no es racional (por contradicción) ¿cómo haría la raíz cúbica?

Answer 1

Supongamos que $\sqrt[3]{P} = \dfrac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ no tienen factores comunes (es decir, la fracción está en forma reducida). Entonces se tiene

$$ b^3 P = a^3. $$

Ambos lados deben ser divisibles por $a$ (si ambos son iguales a $a^3$ ). Ya sabemos que $a$ no divide $b$ (cuando asumimos que la fracción es reducida). Así que entonces $a$ debe dividir $P$ .

EDIT: y si $a = 1$ entonces $P = \dfrac{1}{b^3}$ . ¿Cuántos enteros son de la forma $\dfrac{1}{B}$ para algunos $B$ ?

Answer 2

El punto principal es: La raíz cúbica de un número natural es racional si es de hecho un número entero. Más generalmente, cualquier raíz racional de un polinomio mónico con coeficientes enteros (como $X^3-n$ ) es de hecho un número entero. Por lo tanto, si $\sqrt[3] n$ es racional, entonces $n$ es un cubo (y no puede ser primo).

Answer 3

Sugerencia $ $ Cualquier raíz racional de $\,x^3-p\,$ es un número entero, por la Prueba de la raíz racional.

Alternativamente $\, a^3 = pb^3\,$ contradice la singularidad de las factorizaciones primarias ya que el primer $\,p\,$ se produce para alimentar un múltiplo de $\,3\,$ en la lhs, pero una no múltiple $\,1\!+\!3n\,$ en el lado derecho, es decir $\,0\not\equiv 1\pmod 3.\,$ Esta es una generalización de la prueba análoga de la irracionalidad de las raíces cuadradas comparando el paridad de los exponentes de $\,p,\,$ es decir $\,0\not\equiv 1\pmod 2,\,$ es decir, incluso $\ne $ impar. Precisamente la misma prueba funciona para $k$ 'th raíces, empleando que $\ 0\not\equiv 1\pmod{\! k}$