Sobre tu primera pregunta:
Puesto que usted está en la variedad está suave, se puede pensar (isomorfismo clases de) línea de paquetes como (clases de equivalencia) divisores de Weil. El producto tensor, a continuación, corresponde a la suma de los divisores de Weil, que es muy geométrica.
Intuitivamente esta correspondencia también hace un montón de sentido, ya que sin duda esperan que los ceros de un producto para ser la unión de los ceros de las dos secciones individuales.
Como ejemplo me gustaría tener líneas en el plano proyectivo $\mathbb{P}^2$. Un paquete con grado 2, normalmente se denota $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)$ corresponde a un divisor de Weil dada por una cónica. Del mismo modo un paquete de grado 1 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ corresponde a un grado 1 de la curva: una línea.
El producto tensor es $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)$, la suma de los divisores de Weil es una cónica, además de una línea, que es un degenerado, pero no obstante a) cúbica de la curva. Esto hace total sentido: el producto tensor tiene un grado de tres así que sabemos a priori que un correspondiente divisor de Weil debe tener grado 3.
En cuanto a la segunda pregunta, una buena prueba es dada en Georges respuesta a una pregunta de la mina publicado anteriormente:
Contigüidad de variedades con mayor codimension
No creo que usted está interesado en la pregunta, pero que podría ser en la respuesta, es relevante para su pregunta.
Por último, yo no conozco a ninguna específico de la interpretación geométrica de la adjoint paquete. Tal vez alguien más lo sabe.
Yo, no obstante, puede que te diga dos lugares donde aparece una gran cantidad.
En primer lugar, es parte de la de Riemann-Roch fórmula en las superficies en las que es inmensamente útil teorema en la teoría de superficies algebraicas. Possbily también se utiliza en otros Riemann-Rochs, no sé.
En segundo lugar, si la dimensión de la $X$$n$, la dualidad de Serre da aproximadamente un isomorfismo
$$
H^i(X, \mathcal{L}) \cong H^{n-i}(X, K_X \otimes \mathcal{L}^{-1})
$$
de nuevo una ocurrencia de este adjoint paquete como quieras llamarlo.
Nota que escribí más o menos: el enunciado preciso de la dualidad de Serre es diferente y estoy simplyfing un poco (en una forma inofensiva para la imagen mental).
Espero que esto ayude.
