Valores singulares de $AB$ y $BA$ donde $A$ y $B$ son matrices rectangulares

Question

Esta pregunta es una generalización de los Autovalores de a $AB$ $BA$ donde $A$ $B$ son matrices rectangulares en las que sí que es una generalización de los Autovalores de a $AB$ $BA$ donde $A$ $B$ son matrices cuadradas.

Deje $A$ $m \times n$ matriz y $B$ $n \times m$ matriz. Obviamente, los productos de matriz $AB$ $BA$ son posibles. Suponga $n \leq m$, de tal manera que $AB$ es un débil más grande de la matriz de $BA$.

Hechos:

1. El rango de ambos $AB$ $BA$ es en la mayoría de las $n$ (1 link)
2. El número de no-cero autovalores de ambos $AB$ $BA$ es en la mayoría de las $n$ (enlace 2)
3. Si los autovalores de a$AB$$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, los autovalores de a $BA$ también $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ (enlace 3).

Preguntas:

1. Si los valores singulares de a$AB$$\sigma_1, \ldots, \sigma_n$, ¿qué se puede decir acerca de los valores singulares de a $BA$?
2. ¿Qué Hecho 3, en comparación con la respuesta a la Pregunta 1, decir acerca de las diferencias y las similitudes entre los valores propios y valores singulares?

Answer 1

Casi no hay relación. Por ejemplo, si tomamos $$A = \begin{bmatrix}x & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & y \end{bmatrix}$$ a continuación, los valores singulares de a $AB$ son las raíces cuadradas de los valores propios de $$(AB)^{\mathsf T} AB = \begin{bmatrix}1 & y \\ y & y^2\end{bmatrix}$$ so they are $\sqrt{1+y^2}$ and $0$. Similarly, the singular values of $BA$ are $\sqrt{1+x^2}$ and $0$. Even in this simple example, the nonzero singular value in one case can vary pretty much independently of the other case. (They must both be at least $1$, but we can tweak that by changing the $1$ in the matrices to some small $\epsilon>0$.)

Tomando determinantes, podemos concluir que el producto de los valores propios de a$AB$$\det(AB)$, mientras que el producto de los valores propios de a$BA$$\det(BA)$. Así que si $A$ $B$ ambas son matrices cuadradas, el singular matrices en ambos casos, tener una igualdad de producto $\det(A)\det(B)$, que es una cierta cantidad de la dependencia.

Por otro lado, tomando tensor de productos de la construcción anterior, podemos comenzar con $2n \times 2n$ matrices cuadradas $A$ $B$ donde

• $AB$ tiene valores singulares de a $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n, 0, 0, \dots, 0$,
• $BA$ tiene valores singulares de a $\sigma'_1, \sigma'_2, \dots, \sigma'_n, 0, 0, \dots, 0$,
• y estos son libres de variar de forma independiente el uno del otro.