Un mínimo de $x^2 + 3x - 1$ en $[0,1]$ y $[-2,2]$

Question

Consideremos el problema de encontrar el mínimo absoluto de la función $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface $f(x)=x^2 + 3x - 1$ en todas partes.

Supongamos que sospechamos, por métodos gráficos, que $f$ alcanza su mínimo absoluto en el punto $0 \in [0,1]$ . Así, se cree que su mínimo absoluto es igual a $f(0)=-1$ .

¿Cómo demostrarías, de forma rigurosa y lógicamente explícita, que $f$ realmente alcanza su mínimo absoluto en el punto $0$ en sus dominios? Por favor, haga explícitas sus premisas e identifique todos los teoremas principales que utiliza.

Consideremos también la función $g : [-2,2] \rightarrow \mathbb{R}$ con la misma ecuación definitoria. Supongamos que usted cree que $g$ alcanza su mínimo absoluto en $-3/2$ (que es un mínimo local), por lo que su mínimo absoluto es $g(-3/2)=-13/4$ . La misma pregunta es válida: ¿cómo confirmarías tus sospechas?

Answer 1

Para cualquier $x\in [0,1]$ , $f(x)=x^2+3x-1\geq 0+0-1=-1$ .

Para cualquier $x\in [-2,2]$ , $g(x)=x^2+3x-1=(x+\frac 32)^2-\frac{13}{4}\geq 0-\frac{13}{4}=-\frac{13}{4}$ .

Answer 2

La respuesta de Jasper es para tu caso seguro mucho mejor que la mía. Es una respuesta mucho más complicada, que es más general y se puede aplicar en más situaciones.

Sabemos que toda función continua alcanza su mínimo y su máximo en un conjunto compacto.

Además sabemos que un polinomio es diferenciable, y cuando una función es diferenciable y toma un mínimo en el interior la derivada debe ser cero en este punto. Pero $2x+3$ no tiene cero en $[0,1]$ . Así que el mínimo debe estar en $0$ o en $1$ . Como $f(0)=-1$ y $f(1)=3$ sabemos que $f$ alcanza su mínimo en $x=0$ .

Para el segundo caso, puedes hacer lo que dice Jasper o esto que es mucho más general. Cuando $f$ es convexo y $f$ alcanza un mínimo local en $x_0$ es el mínimo global.

Una función se llama convexa si para todo $t \in (0,1)$ se cumple la siguiente desigualdad: $$f(t\cdot x_0 + (1-t) x_1)\leq t\cdot f(x_0) + (1-t) f(x_1)$$ Parece bastante complicado, ¿verdad? Sólo dice que los valores de la función están por debajo de la secante de dos puntos.

Cuando $f$ es dos veces diferenciable es convexo si $f''\geq 0$ en todas partes.

Obviamente nuestra función es convexa con la observación.

Una función $f$ alcanza un mínimo local en $x_0$ si existe una vecindad con un $\varepsilon >0$ tal que para todo $x$ con $|x_0-x|<\varepsilon$ la desigualdad $$f(x)\geq f(x_0)$$ se mantiene.
Una función $f$ alcanza un mínimo global en $x_1$ si para todo $x$ $$f(x_1)\leq f(x).$$ Acabo de decir todo eso porque no estoy seguro de que el que pregunta conozca esas definiciones de esa manera. Lo siento si alguien se aburrió.

Así que ahora decimos que $f$ alcanza su mínimo local en $x_0$ pero $x_0$ no es el mínimo global, por lo que debe haber un $x_2$ tal que $f(x_2)< f(x_0)$ (nota que $x_2$ no tiene que ser un mínimo o algo así). Sabemos que $f$ es convexo por lo que sabemos que $$f(t \cdot x_0+ (1-t) \cdot x_2)\leq t \cdot f(x_0) + (1-t)\cdot f(x_2)$$ Pero como sabemos que $f(x_2)< f(x_0)$ tenemos $$t\cdot f(x_0) + (1-t)\cdot f(x_2)< t \cdot f(x_2) + (1-t)\cdot f(x_2)=f(x_2)$$
por lo que tenemos $$f(t\cdot x_0 +(1-t) \cdot x_2)< f(x_2)$$ para todos $t\in (0,1)$ cuando tomamos $t$ realmente muy cerca $1$ tenemos $$|x_0- t \cdot x_0 +(1-t)\cdot x_2|<\varepsilon$$ Pero dijimos que $f$ en este punto es menor que $f(x_0)$ Por lo tanto $x_0$ no puede ser un mínimo local, cuando no es el mínimo global.

Pero dijimos que es un mínimo local y entonces demostramos que todo mínimo local de una función convexa es un mínimo global.

Answer 3

Puntos críticos

Supongamos que $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es continua. Llame a $x\in[a,b]$ es un punto crítico para $f$ en $[a,b]$ si

• $x$ es un punto final.
• $x$ es un punto estacionario : $f'(x)=0$ .
• $f$ no es diferenciable en $x$ .

Propuesta: Método del intervalo cerrado

Dejemos que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sea continua. Si $f$ alcanza su máximo absoluto o su mínimo absoluto en algún momento $x\in[a,b]$ , entonces $x$ es un punto crítico para $f$ en $[a,b]$ .

Prueba : Supongamos que $f$ alcanza un extremo absoluto en $x\in [a,b]$ . Si $x$ es un punto final, entonces $x$ es un punto crítico. Por lo tanto, supongamos $x\in(a,b)$ y supongamos además que $f$ es diferenciable en $x$ . Entonces $f'(x)=0$ y así $x$ es un punto crítico. Si $f$ no es diferenciable en $x$ entonces $x$ sigue siendo un punto crítico $\bullet$

Nota: Por lo tanto, para encontrar el máximo/mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado, hay que encontrar los puntos críticos $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ y evaluar la función en cada uno de ellos. Entonces el máximo/mínimo absoluto es el máximo/mínimo de $\{f(x_i):i=1,\dots,n\}$ .

Answer 4

La derivada de $f$ es $f´(x)=2x+3$ .

Esto significa que en $(-\infty,-3/2)$ la función $f$ está disminuyendo debido a $f´(x)<0$ y que en $(-3/2,+\infty)$ la función $f$ está aumentando debido a $f`(x)>0$ . Por lo tanto, es obvio que el mínimo se alcanza en $0$ y es igual a $f(0)=-1$ .

Prácticamente lo mismo se aplica a $g$ porque $g´(-3/2)=0$ y si $g`(x_0)=0$ entonces $x_0$ podría ser mínimo pero no necesariamente necesita ser pero para esto $g$ también se da el caso de que $g´´(-3/2)=3$ por lo que la segunda derivada muestra que es realmente mínima. Sólo necesitas conocimientos básicos de cálculo diferencial, llámalo análisis si quieres.

Si quieres teoremas que se utilicen, como dices, entonces:

1) Si $f$ es diferenciable en $(a,b)$ y $f`(x)<0$ en $(a,b)$ entonces $f$ es decreciente en $(a,b)$

2) Si $f$ es diferenciable en $(a,b)$ y $f`(x)>0$ en $(a,b)$ entonces $f$ está aumentando en $(a,b)$

3) Si $f$ es diferenciable en el punto $x_0$ nad $f`(x_0)=0$ entonces $x_0$ puede ser el mínimo, el máximo o el punto de equilibrio. Para deducir el carácter del punto $x_0$ se necesita la segunda derivada o, a veces, incluso derivadas superiores.

Answer 5

Soy el cartel original. Aquí está mi solución al problema para $g$ .

Dejemos que $X=[-2,2]$ y que $g$ denota la función $X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todo $x \in X$ sostiene que $g(x)=x^2+3x-1$ . Demuestre que existe un único elemento en $X$ que minimiza $g$ y encontrar este elemento.

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Por el Teorema del valor extremo ya que $g$ tiene un dominio compacto (es decir, cerrado y acotado), y como $g$ es continua, existe $x \in X$ tal que $g(x)$ se minimiza. Arreglar cualquier $x$ .

Entonces, por una variante de Teorema de Fermat , ya sea

(i) $x$ es un punto estacionario de $g$ o

(ii) $x$ es un punto límite de $X$ o

(iii) $x$ es un punto no diferenciable de $g$ .

Caso i. Supongamos $x$ es un punto estacionario de $g$ . Entonces $g'(x)=0$ . Así que $2x+3=0$ . Por lo tanto, se sostiene que $x=-3/2$ , llámese esto (i').

Caso ii. Supongamos que $x$ es un punto límite de $X$ . Entonces se sostiene que $x=-2$ o $x=2$ , llamémosle (ii').

Caso iii. Supongamos que $x$ es un punto no diferenciable de $g$ . ¡Contradicción! Llama a esto (iii').

Acabamos de demostrar que (i) --> (i'), (ii) --> (ii'), y (iii) --> (iii'). Pero recordemos que (i) o (ii) o (iii). Por lo tanto (i') o (ii') o (iii'). De ello se desprende que $(x=-3/2)$ o $(x=-2$ o $x=2)$ o (¡Contradicción!). En otras palabras, $x=-2$ o $x=-3/2$ o $x=2$ .

Ahora bien, si $x=-2$ entonces $g(x)=-3$ .

Si $x=-3/2$ entonces $g(x)=-3.25$ .

Y si $x=2$ entonces $g(x)=9$ .

Así que ni $-2$ ni $2$ son entradas para las que $g$ se minimiza, ya que $-3/2$ supera a ambos.

Así que $x=-3/2$ .

En conclusión, existe una única $x \in X$ tal que $g(x)$ se minimiza, es decir $-3/2$ .

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Quedan algunas preguntas.

En primer lugar, ¿cómo se modificaría el argumento para que funcione aunque el dominio de $g$ está abierto, digamos, o no está acotado? ¿Podemos hacer que el argumento funcione sin el Teorema del Valor Extremo?

En segundo lugar, ¿cuál es el enunciado preciso de la variante del Teorema de Fermat que se utilizó?