¿Cuál es la importancia de la forma estándar de las funciones de transferencia de 1er y 2do orden?

Question

Una forma estándar de una ecuación diferencial de primer orden es:

(1) $$\tau \frac{dy}{dt} + y = k * x(t)$$

La transformada de Laplace de esto es:

(2) $$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{\tau s+1}$$

pero a veces se da como

(3) $$H(s) = \frac{1}{\tau s +1} = \frac{a}{s+a}$$

Una forma estándar de una ecuación diferencial de segundo orden es:

(4) $$\tau ^{2} \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2 \tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = k * x(t)$$

La transformada de Laplace de esto es:

(5) $$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s+1}$$

pero a veces se da como

(6) $$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$$

Aquí están mis preguntas:

• ¿Cuál es el significado físico de "primer" y "segundo orden"? (aparte de que en el primero el mayor exponente de la diferencial es 1 y en el segundo es 2). ¿Cómo sé si un sistema es de primer o segundo orden?

• ¿De dónde vienen las ecuaciones (1) y (4)? ¿Por qué se decidieron que estas sean la "forma estándar"? ¿Qué hay de especial en esta forma y cómo se derivaron estas ecuaciones?

• Cuando se tiene un sistema de primer orden, ¿por qué a veces se da la ecuación (2) y a veces la ecuación (3) como la función de transferencia para este sistema? De igual manera, cuando se tiene un sistema de segundo orden, ¿por qué se da la ecuación (6) usualmente, cuando en realidad la transformada de Laplace es la ecuación (5)?

Answer 1

1. El orden de una función de transferencia está determinado por el mayor orden del denominador. Este orden representa el número de polos y - por lo tanto - determina las características de atenuación de la función de transferencia (magnitud) así como la cantidad de desplazamiento de fase para frecuencias crecientes.

2. La forma estándar es muy importante porque permite encontrar parámetros característicos mediante inspección visual y/o cálculos simples: Orden del filtro, fórmula para la frecuencia del polo, fórmula para el polo-Q. Estos parámetros son los elementos de diseño para diseñar un filtro y se pueden encontrar para todas las respuestas clásicas en tablas de filtros.

3. Ambas formas de las ecuaciones se pueden utilizar, por supuesto. Sin embargo, la última forma es más conveniente porque inmediatamente se puede identificar la frecuencia del polo wn. Esta frecuencia característica está relacionada con la frecuencia de corte wc (que normalmente se proporciona) por un factor fijo que depende de la característica deseada (Ejemplo 1: Butterworth de segundo orden, wc=wn; ejemplo 2: Chebyshev de segundo orden, ondulación de 0.5dB, wp=1.2313*wc).

EDICIÓN: Olvidé mencionar que el factor de calidad del polo (Qp o Q del polo) está relacionado con el factor de amortiguamiento ζ (como se indica en tus fórmulas) por la relación: ζ=1/(2*Qp).

Resumen: La última forma (Ec. 6) contiene las cantidades de paso bajo más importantes como parámetros (Ao, wp, Qp), que también se pueden medir (diagrama de Bode para magnitud y fase). En la práctica, esta forma se compara con la forma que se deriva directamente del circuito - y, así, es posible ver cómo todos los parámetros dependen de las partes particulares en el circuito.

Answer 2

¿Cuál es el significado físico de "primer" y "segundo orden"? ... ¿Cómo sé si un sistema es de primer o segundo orden?

Un sistema de 1er orden tiene un elemento de almacenamiento de energía y requiere solo una condición inicial para especificar la solución única a la ecuación diferencial gobernante. Los circuitos RC y RL son sistemas de 1er orden ya que cada uno tiene un elemento de almacenamiento de energía, respectivamente un capacitor e inductor.

Un sistema de 2do orden tiene dos elementos de almacenamiento de energía y requiere dos condiciones iniciales para especificar la solución única. Un circuito RLC es un sistema de 2do orden ya que contiene un capacitor y un inductor.

¿De dónde provienen las ecuaciones (1) y (4)?

Considera el caso homogéneo para la ecuación de 1er orden:

$$\tau \frac{dy}{dt} + y = 0$$

Como es bien sabido, la solución es de la forma

$$y_c(t) = y_c(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

lo que le da significado físico al parámetro \$\tau\$ - es la _constante de tiempo_ asociada con el sistema. Cuanto mayor sea la constante de tiempo \$\tau\$, más tiempo llevan las transitorias en decaer.

Para el sistema de 2do orden, la ecuación homogénea es

$$\tau^2\frac{d^2y}{dt^2} + 2\tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = 0$$

Suponiendo que las soluciones son de la forma \$e^{st}\$, la ecuación característica asociada es

$$\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s + 1 = 0$$

que tiene dos soluciones

$$s = \frac{-\zeta \pm\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}$$

lo que le da significado físico a la constante de amortiguamiento \$\zeta\$ asociada con el sistema.

Las soluciones transitorias son, cuando \$\zeta > 1\$ (sobre-amortiguadas), de la forma

$$y_c(t) = Ae^{\frac{-\zeta +\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t} + Be^{\frac{-\zeta -\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t}$$

cuando \$\zeta = 1\$ (críticamente amortiguadas), las soluciones son de la forma

$$y_c(t) = \left(A + Bt\right)e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}$$

y cuando \$\zeta < 1\$ (sub-amortiguadas), las soluciones son de la forma

$$y_c(t) = e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}\left(A\cos \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) + B\sin \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) \right)$$

Cuando se tiene un sistema de primer orden, ¿por qué a veces se da la ecuación (2), y a veces la ecuación (3) como la función de transferencia para este sistema?

Diferentes disciplinas tienen convenciones y formas estándar diferentes. La ecuación (2) parece ser un estándar de la teoría de control mientras que la ecuación (3) parece ser un estándar en procesamiento de señales.

Las formas estándar evolucionan para adaptarse a las necesidades de una disciplina. Además, si una persona o grupo particularmente influyente desarrolla y utiliza una convención en particular, esa convención a menudo se convierte en el estándar. Podría ser educativo revisar libros y revistas antiguos para tener una idea de cómo evolucionan la notación y las formas estándar.