Puede una serie de potencias converge uniformemente en $(-1,1)$ pero no en $[-1,1]?$

Question

Me estoy tomando un curso en análisis, y me pregunto si es posible que una potencia de serie con radio de convergencia $1$ converge uniformemente en $(-1,1)$, pero no en $[-1,1]?$

No creo que esto es posible, ya que el poder de la serie será definir una función continua sobre $[-1,1]$ (suponiendo que se define en$-1$$1$) que arrastra en $-1,$ $1$ en el juego cuando se considera convergencia uniforme en $(-1,1)$. Yo no puedo decidir qué sucede si la serie de golpes en $-1$ o $1$. Parece que no tenemos una convergencia uniforme, pero no estoy seguro de por qué.

Answer 1

No hay ninguna de esas series, y esto no es algo específico a la alimentación de la serie.

Reclamación

Si una secuencia de funciones continuas en $E$ converge uniformemente en un subconjunto denso de $E$, entonces converge uniformemente en $E$.

Prueba. Convergencia uniforme es equivalente a ser de Cauchy en el uniforme de la norma, lo que significa que $$ \forall \epsilon\ \existe N \text{ tales que }\sup_E |f_n-f_m|<\epsilon\quad \forall m,n\ge N $$ Desde $|f_n-f_m|$ es continua, tiene el mismo supremum $E$ como sobre cualquier subconjunto denso de $E$. $\quad\Box$

En su situación, $f_n$ $n$ésima suma parcial de la serie, $E=[-1,1]$, y el subconjunto denso es $(-1,1)$.