¿Dadas $d \equiv 1 \pmod 4$, $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ tengan una unidad fundamental que no es "mitad-entero"?

Question

También $d > 0$, $\mu(d) \neq 0$.

Reconozco que el término "semi-entero" es, en el mejor de la problemática. A lo que me refiero es que un entero en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ es de la forma $\frac{a + b \sqrt{d}}{2}$ $a$ $b$ tanto extraño.

Por favor tengan paciencia conmigo, soy muy nuevo en este tema. Si lo he hecho correctamente, las unidades fundamentales en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ $d = 5, 13, 17, 21$ $$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{5 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{5 + \sqrt{21}}{2}.$$

Puede que la unidad fundamental de un dominio de posiblemente ser de la forma $a + b \sqrt{d}$ en lugar de $\frac{a + b \sqrt{d}}{2}$? Y si es así, cuando factoring otros enteros en ese dominio, ¿cómo puede usted estar seguro de que no has pasado por alto un "semi-entero" factor?

---

EDIT: Se ha señalado que la puse el cálculo de $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$. Aún así, agradezco cualquier conocimiento que todos puedan tener con respecto a las unidades fundamentales en estos dominios.

Answer 1

Sí, se puede. Una media aritmética error de su parte ha enmascarado un ejemplo de lo contrario tendría encontrado a ti mismo. Compruebe que $$N\left(\frac{5}{2} + \frac{3\sqrt{17}}{2}\right) = \frac{25}{4} - \frac{153}{4} = -32.$$

In order for $\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ to have a half-integer fundamental unit, there has to be a solution to $x^2 - y^2 = \pm 4$ with $x$ and $s$ both odd, and there isn't when $d = 17$. Consider this modulo 16: the odd squares are 1 and 9, and since $17 \equiv 1 \pmod{16}$, we see that $1 - 1 = 0$, $1 \pm 9 = 8$, $9 - 9 = 0$. But $4 \no\equiv 0$ nor $8 \pmod{16}$. Hence the fundamental unit of $\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$ is $4 + \sqrt{17}$.

At least for primes $p$ what you can do is see whether you can solve $x^2 - y^2 = \pm 4p$ with $x$ and $s$ odd. For composite numbers, you take this to the constituent prime factors, but if $\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ is not UFD then you also have to watch out for potentially multiple distinct factorizations, as well as non-obviously non-distinct factorizations (fun, right?).

Finding the fundamental unit of a particular real quadratic integer ring is something your favorite computer algebra system can do much more quickly and reliably than you can. For example, with Wolfram Mathematica you can do NumberFieldFundamentalUnit[Sqrt[n]] (I believe this also works in Wolfram Alpha).

Let me give you an example that is neither one more than a power of 2 nor one more than a square: given $d = 41$, we have $32 - 5\sqrt{41}$ como la unidad fundamental.