Sea V un espacio vectorial. Si cada subespacio de V es T-invariante, demostrar que existe un escalar múltiples c tal que T = c1v

Question

Escribí una prueba de la pregunta anterior, pero no estoy seguro de si es correcto o no desde que asumió la independencia lineal.

Aquí está la prueba:

Vamos $u$,$v$ ser linealmente independiente de vectores en $V$.
$span(u)$, $span(v)$, $span(u+v)$ son todos los $T-invariant$.

$T(v)$ es un elemento en el $span(v) \Longrightarrow T(v) = av$

$T(u)$ es un elemento en el $span(u) \Longrightarrow T(u) = bu$

$T(u+v)$ es un elemento en el $span(u+v) \Longrightarrow T(u+v) = T(u)+T(v)= bu+av = c(u+v)$

Por lo tanto, $bu+av-c(u+v) = 0 \Longrightarrow (b-c)u + (a-c)v = 0$ Dado que u y v son linealmente independientes, $(b-c)=(a-c)=0 \Longrightarrow b=a$

Por lo tanto, $T(w) = kw$, para todos los $w$$V$, e $k$ cualquier escalar.

Es correcto asumir independencia lineal? Y hay algún problema con mi prueba?

Answer 1

Primera nota de que, por su trabajo inicial, uno sabe que, para cada una de las $v\in V$ existe $a_v\in \mathbb F$ tal que $$Tv=a_v v$$

Debido a $T0=0$, se puede elegir $a_0$ a ser cualquier número en $\mathbb F$, pero para $v\in V-\{0\}$ $a_v$ está determinado por la ecuación anterior.

Debemos mostrar ese $a_v$ es independiente de $v\in V-\{0\}$. Para ello, supongamos $v,w\in V-\{0\}$. Queremos mostrar que $a_v=a_w$. Considere los dos casos:

• Si $(v,w)$ es linealmente independiente.

Tenemos $$a_{v+w}(v+w)=T(v+w)$$ $$=Tv+Tw$$ $$=a_v v + a_w w$$ which implies that $$(a_{v+w}-a_v)v+(a_{v+w}-a_w)w=0$$

Luego, debido a que $(v,w)$ es linealmente independiente, $$a_w=a_{v+w}=a_v$$ como se desee.

• Si $(v,w)$ es linealmente dependiente

Entonces existe $b\in \mathbb F$ tal que $w=bv$. Por lo tanto, tenemos

$$a_w w=Tw$$ $$=T(bv)$$ $$=b(Tv)$$ $$=b(a_v v)$$ $$=a_v w$$ como se desee.

Answer 2

La línea:

Por lo tanto, $T(w)=kw$, para todos los $w$$V$, e $k$ cualquier escalar.

no está justificado (donde esta $k$?), y no entiendo por qué se escribe "$k$ cualquier escalar". Se lee como $k$ podría depender de $w$, que no es lo que usted desea. He aquí cómo uno podría llenar los detalles que faltan:

Para cada $u \neq 0$, no es un escalar $\lambda_u$ tal que $T(u) = \lambda_u u$. Si $V = 0$ no hay nada que demostrar, de lo contrario, elija un fijo distinto de cero $u_0 \in V$ y llame a $\lambda = \lambda_{u_0}$. Ahora, para todos los distinto de cero $v \in V$, ya sea:

• $u$ $v$ son linealmente independientes y, a continuación, que han demostrado que $\lambda_v = \lambda$;
• o son linealmente dependientes, por lo tanto, $v = au_0$ para algunos escalares $a$. Pero, a continuación,$T(v) = \lambda_v v = a \lambda_v u_0 = T(au_0) = a T(u_0) = a \lambda u_0 \implies \lambda_v = \lambda$ ($a \neq 0$ debido a $v \neq 0$).
• y obviamente $T(0) = \lambda 0$.

Finalmente, $\lambda_v = \lambda$ todos los $v$ $T(v) = \lambda_v v = \lambda v$ todos los $v$ donde $\lambda$ no dependen $v$.