A veces veo $\int$ allí pero no $d$ sigue. ¿Por qué?

Question

En mi opinión, los símbolos matemáticos $\int$ y $d$ deben aparecer siempre juntos para representar una forma integral, como

\begin {align} \int_ {x_0}^{x_1} e^x dx = e^{x_1}-e^{x_0} \end {align}

En el LHS, $\int_{x_0}^{x_1}$ y $dx$ construir una integral para la variable de integración $x$ en $[x_0,x_1]$ . Sin embargo, veo el signo integral $\int$ solo sin $d$ a veces en alguna fórmula matemática, por ejemplo

\begin {align} \int_ { \partial \Omega } \omega = \int_\Omega d \omega \end {align}

El LHS de esta fórmula clásica de Stokes no contiene $d$ . Por qué el $\int$ puede aparecer sin $d$ ? Observo muchos otros casos como éste, normalmente en análisis real y geometría diferencial. ¿Simplemente omiten $d$ y considerar la variable de integración por defecto?

Answer 1

Por decirlo de forma sencilla (y quizá un poco dura), su opinión es errónea.

Dada una función $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ (vamos a quedarnos en intervalos sólo para simplificar la discusión), el símbolo $\int_{[a,b]}f$ está completamente bien definida (ya sea Riemann, Lebesgue o cualquier teoría de integración que estés utilizando). Por ejemplo, tu primera ecuación es $$\int_{x_0}^{x_1}\exp=\exp(x_1)-\exp(x_0).$$

De hecho, podría decirse que es más preciso que su "hermano" $\int_{[a,b]} f(x) dx$ que se apoya en cosas como $\int_{[a,b]} x^2dx$ por ejemplo. Esta notación se utiliza sobre todo para fines computacionales (por ejemplo, aplicaciones de Fubini, cambio de variables, etc.) y pedagógicos, porque de lo contrario tendríamos que escribir $$\int_{[a,b]} (x \mapsto x^2).$$ en lugar de $$\int_{[a,b]}x^2dx$$ entre otras cosas.

El " $d$ " en el teorema de Stokes es otra cosa muy distinta, y su concepción es mucho más elaborada de lo que algunos textos/personas dan a entender por ni siquiera de forma errónea diciendo que formaliza/generaliza la "dx" que aparece en la integración (que en realidad no aparece y es una fantasía notacional).