Representación integral de la función cosecante

Question

Según el sitio web de Wolfram http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/introductions/Csc/05/ ,

Existe una representación integral "conocida" para la función cosecante, es decir $$\csc(z):=\frac{1}{\sin(z)} = \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} \frac{1}{t^2+t}t^{z/\pi}\,\mathrm d t$$ para los complejos $z$ tal que $0< \Re(z)<\pi$ .

Estoy buscando una demostración de esta fórmula. No encuentro ningún libro de referencia.

Idealmente, me gustaría encontrar una representación integral similar en todo el plano complejo, excepto $\pi\mathbb{Z}$ o al menos en el semiplano con parte real positiva. Puede ser una integral indefinida.

Answer 1

$$\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{t^{\frac{z}{\pi}}}{t^2+t}dt=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{t^{\frac{z}{\pi}-1}}{t+1}dt$$

Dejemos que $w=\dfrac{1}{t+1}:$

$$\begin{align*}\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{t^{\frac{z}{\pi}-1}}{t+1}dt&=\frac{1}{\pi}\int_0^{1}\frac{1}{w}\left(\frac{1}{w}-1\right)^{\frac{z}{\pi}-1}dw\\&=\frac{1}{\pi}\int_0^{1}w^{-\frac{z}{\pi}}\left(1-w\right)^{\frac{z}{\pi}-1}dw\\&=\frac{1}{\pi}\text{B}\left(1-\frac{z}{\pi},\frac{z}{\pi}\right)\end{align*}$$

Dónde $\text{B}(x,y)$ es el Función beta definido para $\Re (x),\Re(y)>0$ (de ahí que debamos tener $0<\Re (z)<\pi$ )

Por el poderoso Relación Beta-Gamma :

$$\frac{1}{\pi}\text{B}\left(1-\frac{z}{\pi},\frac{z}{\pi}\right)=\frac{1}{\pi}\Gamma\left(1-\frac{z}{\pi}\right)\Gamma\left(\frac{z}{\pi}\right)$$

Ahora, gracias a Fórmula de reflexión de Euler :

$$\begin{align*}\frac{1}{\pi}\Gamma\left(1-\frac{z}{\pi}\right)\Gamma\left(\frac{z}{\pi}\right)&=\frac{1}{\pi}\cdot \pi\csc\left(\pi\cdot\frac{z}{\pi}\right)\\&=\csc (z)\end{align*}$$