La comprensión de la prueba de Schur-Weyl Dualidad

Question

Me estoy enseñando teoría de la representación en $GL(V)$ $S_n$ usando mi amigo notas de la conferencia, y que han llegado a la prueba de Schur-Weyl teorema de la Dualidad; en la lectura a través de estoy luchando para hacer mi camino a través de la primera parte de la prueba, sin embargo, y fue la esperanza de que usted podría ser capaz de explicar algunas de las cosas que estoy confundido acerca de. No estoy seguro de cuánto de esto es la prueba estándar (una cantidad justa, sospecho) por lo que es posible que algunas preguntas no se va a rendir y va a ser simplemente los matices de la forma en que el profesor presenta el material. Sin embargo, si usted me podría ayudar tanto como pueda con mi entendimiento me sería de gran aprecio. (Voy a escribir la primera parte de esta sección de las notas, pero no voy a presentar la prueba plena en su totalidad).

Una advertencia: las notas de la conferencia tiene unos cuantos errores en el; el último paso de la prueba de Schur-Weyl dualidad, por ejemplo, es totalmente equivocado, a pesar de que se fija fácilmente a través de los resultados anteriores en las notas. También, por favor, perdona cualquier estúpido preguntas que hago, casi todos los de mi teoría de la representación del conocimiento es autodidacta, por lo que en ocasiones me dan la cegadoramente obvio. Mis preguntas son, creo, simple, aunque tengo un poco de que requiere una aclaración.

Deje $V$ $m$- dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. $V^{\otimes n}$ es una $\mathbb{C}S_n$ módulo, a través de $\sigma(v_1 \otimes \ldots \otimes v_n) = v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \ldots \otimes v_{\sigma^{-1}(n)}$, e $g(v_1 \otimes \ldots \otimes v_n) = gv_1 \otimes \ldots \otimes gv_n$ (supongo que esto es para $g \in GL(V)$ aunque no de manera explícita.)

Podemos definir $\phi: \mathbb{C}S_n \to \operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n}),\,\sigma \mapsto (v \mapsto \sigma v)$. $V$ también puede considerarse como representaciones de $GL(V)$ de una manera natural, por lo $V^{\otimes n}$ se convierte en un $\mathbb{C}GL(V)$ módulo, por lo $\exists \, \psi: \mathbb{C}GL(V) \to \operatorname{End}_{\mathbb{C}GL(V)}(V^{\otimes n}), \eta \mapsto \eta^{\otimes n}$.

Teorema (Schur-Weyl Dualidad): Las imágenes de $\mathbb{C}S_n$ $\mathbb{C}GL(V)$ $\operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n})$ son cada uno de los otros centralizadores; es decir,$\psi(GL(V)) = \operatorname{End}_{\mathbb{C}S_n}(V^{\otimes n})$$\phi(\mathbb{C}S_n) = \operatorname{End}_{\mathbb{C}GL(V)}(V^{\otimes n})$.

Para probar esto, se define la $\mathbb{C}$-álgebra $S_\mathbb{C}(m,n)$, el "Schur álgebra", para ser la subalgebra de $\operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n})$ consta de endomorphisms los desplazamientos con la imagen de $\mathbb{C}S_n$:$S_\mathbb{C}(m,n) = \operatorname{End}_{\mathbb{C}S_n}(V^{\otimes n})$. Ahora $\mathbb{C}S_n$ es semisimple y $V^{\otimes n}$ es un finito dimensionales $\mathbb{C}S_n$ módulo, por lo tanto, $S(m,n)$ es semisimple $\mathbb{C}$-álgebra. Poner $W = \operatorname{End}_\mathbb{C}(V)$: este es un $\mathbb{C}GL(V)$ módulo de conjugación.

Pregunta 1: ¿hay una razón por la que queramos $\mathbb{C}GL(V)$ módulo de conjugación? No puedo ver ningún momento durante cualquiera de las pruebas en que la conjugación es usado, y yo no habría pensado que esta sería la acción natural para elegir.

Lema: existe un isomorfismo $\alpha: W^{\otimes n} \to \operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n})$, el envío de $f_1 \otimes \ldots \otimes f_n \mapsto \left(v_1 \otimes \ldots \otimes v_n \mapsto f_1(v_1) \otimes \ldots \otimes f_n(v_n)\right)$, un isomorfismo de $\mathbb{C}GL(V)$-módulos y de $\mathbb{C}S_n$-módulos.

Prueba: $W^{\otimes n} = W \otimes \ldots \otimes W \cong (V \otimes V^*) \otimes \ldots \otimes (V \otimes V^*)$ $\cong (V \otimes V \ldots \otimes V) \otimes (V^* \otimes \ldots \otimes V^*) \cong V^{\otimes n} \otimes (V^*)^{\otimes n} \cong \operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n})$.

$W^{\otimes n}$ tiene estructura natural de a $\mathbb{C}S_n$-módulo de e $\operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n})$ hereda su estructura de $V^{\otimes n}$. Es fácil ver $\alpha$ $\mathbb{C}S_n$- homom; esto completa el lema.

Pregunta 2: yo sigo el simbólico parte de la prueba, y supongo que $W^{\otimes n} = (\operatorname{End}_\mathbb{C}(V))^{\otimes n}$ tiene la "natural" de la estructura de una $\mathbb{C}S_n$ módulo a través de $\sigma(f_1 \otimes \ldots \otimes f_n) = f_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \ldots \otimes f_{\sigma^{-1}(n)}$? No sé qué se entiende por $\operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n})$ heredar su estructura de$V^{\otimes n}$: ¿significa esto $\sigma$ actúa mediante la asignación de $\left(v_1 \otimes \ldots \otimes v_n \mapsto f_1(v_1) \otimes \ldots \otimes f_n(v_n)\right)$ $\left(v_1 \otimes \ldots \otimes v_n \mapsto f_{\sigma^{-1}(1)}\left(v_{\sigma^{-1}(1)}\right) \otimes \ldots \otimes f_{\sigma^{-1}(n)}\left(v_{\sigma^{-1}(n)}\right)\right)$en la misma manera como se ha indicado en la primera línea?

Si esto es correcto, sin embargo, entonces no veo cómo $\alpha$ viajes con $\sigma$: el último ha índices de coherencia entre los $f_i$ $v_i$ mientras que el primero ha $f_{\sigma^{-1}(i)}(v_i)$. Pero entonces, ¿cómo es $\alpha$ $\mathbb{C}S_n$- homomorphism? Lo he entendido mal? De vuelta a las notas:

Lema: $S_\mathbb{C}(m,n) = \alpha(T^nW_{sym})$ donde $T^nW_{sym}$ denota el n-ésimo simétrica poder.

Prueba: Observe $S_\mathbb{C}(m,n) = \{x \in \operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n}): \sigma x = x \, \forall \, \sigma \in S_n\}$, e $T^nW_{sym} = \{y \in W^{\otimes n}: \sigma y = y \, \forall \, \sigma \in S_n\}$, completando la prueba.

Pregunta 3: probablemente estoy siendo estúpido, pero ¿por qué $S_\mathbb{C}(m,n) = \{x \in \operatorname{End}_\mathbb{C}(V^{\otimes n}): \sigma x = x \, \forall \, \sigma \in S_n\}$? Se supone que ser de endomorphisms los desplazamientos con la imagen de $\mathbb{C}S_n$, pero no se que darle algo como $\sigma x = x \sigma$, en lugar de $\sigma x = x$?

Eso es todo por ahora, disculpas por el largo/varias preguntas, pero no veo ningún beneficio para la publicación de las mismas notas de la conferencia 3 veces en preguntas separadas. Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Espero que la siguiente manera ayudar a aclarar un poco las cosas. Primero de todo, algunas correcciones y sugerencias a su errores tipográficos o escritos.

(1) (sólo una preferencia personal, pero creo que esta es una mejor práctica) de la $V^{\otimes n}$ es un derecho $\mathbb{C}S_n$-módulo. Y $\phi: \mathbb{C}S_n\to \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ está dado por $\sigma \mapsto (v \mapsto v\sigma)$.

(2) $\psi:\mathbb{C}GL(V) \to \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ está dado por $g \mapsto (v\mapsto gv)$ donde $gv$ es dado en su primer párrafo.

(3) por lo Tanto, en el párrafo anterior la declaración de la S-W dualidad, debe ser: por la conmutación de la acción de $S_n$ y $GL(V)$, $\phi$ induce (abusando de la notación) $\phi: \mathbb{C}S_n\to \mathrm{End}_{\mathbb{C}GL(V)}(V^{\otimes n})$, y del mismo modo por el intercambio de $S_n$$GL(V)$, $\psi:\mathbb{C}GL(V)\to \mathrm{End}_{\mathbb{C}S_n}(V^{\otimes n})$

(3.5) su $\eta$ en ese párrafo debería ser $\phi$ en mi (1) o $\psi$ en el punto (2) anterior, dependiendo de la corrección para elegir.

(4) El hecho de que el subespacio invariante de $\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ es lo mismo que $\mathrm{End}_{\mathbb{C}S_n}(V^{\otimes n})$ es debido a una Weyl. No creo que es obvio (?).

La pregunta 1 y 2: ¿por Qué la conjugación? Y lo que es la acción de $S_n$ $\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$

En breve (como siempre en matemáticas...) esta es la acción que hace que todo sea correcto, y no fue dado claramente en la prueba del Lema de $W^{\otimes n}\cong \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$. La motivación es que necesitamos de conmutación: $x \theta = \theta x$ donde $x$ elementos de $GL(V)$ o $S_n$ a conseguir algo en $\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V^{\otimes n})$ $G = S_n$ o $GL(V)$. Esta transformación en $\theta = x\theta x^{-1}$. Nota este es también el lugar donde su conjetura para la acción de la $S_n$ $\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ es malo. Claramente, para $S_n$ lado de la historia:

La acción de $S_n$$W^{\otimes n}$: igual que usted dice $(f_1\otimes \cdots\otimes f_n)\cdot\sigma = f_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes f_{\sigma^{-1}(n)}$

La acción de $S_n$ en $\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$: $\theta\cdot\sigma = \phi(\sigma)\theta\phi(\sigma^{-1})$

La prueba de la conmutación de la $S_n$acción:

$\alpha((f_1\otimes\cdots f_n))\cdot\sigma\\ =(v_1\otimes\cdots v_n\mapsto f_1(w_1)\otimes \cdots \otimes f_n(w_n))\cdot\sigma \\ = v_1\otimes\cdots \otimes v_n\\ \quad \mapsto v_{\sigma(1)}\otimes \cdots v_{\sigma(n)}\\ \quad \mapsto f_1(v_{\sigma(1)})\otimes \cdots f_n(v_{\sigma(n)})\\ \quad \mapsto f_{\sigma^{-1}(1)} (v_{\sigma(\sigma^{-1}1)})\otimes \cdots f_{\sigma^{-1}(n)} (v_{\sigma(\sigma^{-1}n)}) = f_{\sigma^{-1}(1)} (v_1)\otimes \cdots f_{\sigma^{-1}(n)} (v_n))\\ =\alpha((f_1\otimes\cdots f_n)\cdot\sigma)$

Ahora a ver cuando conjugación juega una parte (en $S_n$ lado de la historia). Así que es un buen ejercicio para comprobar lo mismo en $GL(V)$.

Pregunta 3: ¿Qué tiene de malo?

Estás en lo correcto $S(m,n)=\{ x\in \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})| \phi(\sigma) x = x \phi(\sigma) \; \forall \sigma \in S_n\} = \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})^{S_n}$ (esta es la notación para decir "el subespacio que es invariante bajo la acción de $S_n$)

Por otro lado, el simétrico de alimentación de la parte es correcta. Ahora recuerdo el simétrico de energía es el espacio invariante bajo permutación de acción de $S_n$, por lo $S^n(W)$ (en la notación $T^n W_{sym}$)$(W^{\otimes n})^{S_n}$. Así que ahora todo lo que sigue desde el isomorfismo $\alpha$. Nota: $y\cdot \sigma$ $W^{\otimes n}$ corresponde a $\phi(\sigma)\alpha(y)\phi(\sigma^{-1})$$\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$.

P. S. Si usted tiene una versión escrita a máquina de notas de la conferencia este, ¿te importaría enviarme una copia (con la corrección, si es posible)? Yo también soy un estudiante de posgrado, de aprender cosas relacionadas con el área, y me gusta esto una prueba más de la habitual referencia de Goodman-Wallach (aparte de que el punto (4), mencionado más arriba).

Answer 2

Esta es una presentación alternativa a la de Aarón respuesta. En mi opinión, todos los objetos complicados ($\alpha$ isomorfismo, la acción por la conjugación) son necesarios para la prueba de la S-W dualidad y terminan transformando una bastante simple hecho de en una esotérica de la caja negra. Me gusta ponerlo de esa manera : S-W dualidad, cuando se escribe, se reduce al hecho de que diferentes monomials son linealmente independientes (esto es la "Zariski conjuntos cerrados" cosas en el OP comentario), ver más abajo.

Algunos prefieren el "resumen disparate" la versión como en la de Aarón respuesta, otros, como yo, prefieren escribir todo lo que está en las bases. Es una cuestión de gusto : el "resumen disparate" la versión es más corta ; por otro lado, no es misterioso paso (tales como la acción por la conjugación) en las manos-en la versión.

Como en el de Aarón respuesta, hagamos ${\mathfrak S}_n$ ley sobre el derecho, el abuso de notación y escritura : $\phi: \mathbb{C}{\mathfrak S}_n\to \mathrm{\sf End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ $\sigma \mapsto (v \mapsto v\sigma)$ y $\psi:\mathbb{C}GL(V) \to \mathrm{\sf End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ $g \mapsto (v\mapsto gv)$.

Queremos mostrar que $A={\sf End}_{\mathbb{C}{\mathfrak S}_n}(V^{\otimes n})$ es la misma cosa que $I={\sf Im}(\psi)$. De hecho, todo lo que tenemos que mostrar es $A \subseteq I$, debido a la inversa de la inclusión de la siguiente manera por el hecho de que las dos acciones de desplazamiento.

¿Qué hace un elemento $a$$A$? Si fijamos una base ${\cal B}_1$$V$, obtenemos una base ${\cal B}_2$$V^{\otimes n}$ : $${\cal B}_2=\lbrace v_1 \otimes v_2 \otimes \ldots \otimes v_n \big| v_1,v_2, \ldots ,v_n \in {\cal B}_1\rbrace$$ Tenga en cuenta que ${\cal B}_2$ es invariante por la acción de la ${\mathfrak S}_n$$V^{\otimes n}$.

Para cualquier $a\in {\sf End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$, aquí se $m^{2n}$ coeficientes de $c(v,w)$ ( $v,w\in {\cal B}_2$ ) tales que $$a(v)=\sum_{w\in {\cal B}_2}c(v,w)w$$ para cualquier $v\in {\cal B}_2$. Entonces, para cualquier $\sigma\in {\mathfrak S}_n$ hemos

$$una(v)\sigma=\sum_{w\in {\cal B}_2}c(v,w)w\sigma= \sum_{w'\in {\cal B}_2}c(v,w'\sigma^{-1})w'= \sum_{w\in {\cal B}_2}c(v,w\sigma^{-1})w$$

y

$$una(v\sigma)=\sum_{w\in {\cal B}_2}c(v\sigma,w)w$$

Por lo $a\in {\sf End}_{\mathbb{C}{\mathfrak S}_n}(V^{\otimes n})$ fib $c(v\sigma,w)=c(v,w\sigma^{-1})$ cualquier $\sigma,v,w$. Esto es equivalente a $c(v\sigma,w\sigma)=c(v,w)$ cualquier $\sigma,v,w$, es decir, $a$ es invariante con respecto a la acción natural de la ${\mathfrak S}_n$${\cal B}_2^2$ : en otras palabras $a$ es constante en las órbitas. Denotar por ${\Omega}$ el conjunto de todas las órbitas ${\cal B}_2^2$ para esta acción. Para $\omega \in \Omega$, denotar por ${\chi}_{\omega}$ el mapa de características de $\omega$ ${\cal B}_2^2$ (de modo que ${\chi}_{\omega}(x)=1$ si $x\in\omega$, e $0$ lo contrario), y definir $a_{\omega}\in {\sf End}_{\mathbb{C}}(V^{\otimes n})$ por $$a_{\omega}(v)=\sum_{w \in {\cal B}_2}\chi_{\omega}(v,w)w$$ A continuación, ${\cal B}_3=(a_{\omega})_{\omega \in \Omega}$ constituye una base para ${\sf End}_{\mathbb{C}{\mathfrak S}_n}(V^{\otimes n})$.

Ahora es el momento de escribir la acción de la $GL(V)$ $(V^{\otimes n})$ igualmente. Deje $g\in GL(V)$ actuar en base a ${\cal B}_1$ por

$$g(v)=\sum_{w\in {\cal B}_1} \gamma(v,w) w \ ({\rm \ cualquier \ } v\in {\cal B}_1)$$

donde $\gamma$ es un mapa de ${\cal B}_1^2 \to {\mathbb C}$. Entonces la acción de la $g$ en $(V^{\otimes n})$ puede ser escrita de la siguiente manera : para cualquier $(v_1,v_2, \ldots ,v_n)\in {\cal B}_2$,

$$g(v_1 \otimes v_2 \otimes \ldots \otimes v_n)=\sum_{(w_1,w_2, \ldots ,w_n)\in {\cal B}_2} \gamma(v_1,w_1)\gamma(v_2,w_2)\ldots \gamma(v_n,w_n) w_1 \otimes w_2 \otimes \ldots\otimes w_n$$

Nos deja denotar por $H$ el conjunto de $m^{2n}$ variables$\gamma(v,w)$$v,w\in {\cal B}_2$. Dado que la acción de $GL(V)$ ${\mathfrak S}_n$ viaje, la prolongada acción de $g$ $V^{\otimes n}$ (nos vamos a denotar por $g'$) puede ser escrita como la anterior

$$g'=\sum_{\omega \en \Omega}P_{\omega}(h)_{h\H} a_{\omega}$$

donde cada una de las $P_{\omega}$ es un polinomio en las variables de $H$ (y, de hecho, un producto de $n$ variables $H$,multiplicada por una constante). Así que todos los $P_{\omega}$ son diferentes monomials ; por lo que son linealmente independientes, y el lapso de todos los $g'$ es necesariamente la totalidad de ${\sf span}(a_{\omega})_{\omega \in \Omega}=A$, qed.