Anillo de homomorfismo entre $R[x]$y $R$

Question

Estoy tratando de mostrar que, si el $\phi : R[x] \rightarrow R$ es un homomorfismo del anillo, que $\phi$ restringido a $R$ es el mapa de la identidad, entonces el $\phi=\phi_a$ $a$, donde $\phi_a$ es el homomorfismo de sustitución.

Lo que yo estoy strugglin con es: ¿Qué $\phi|_R$ significa exactamente? ¿Estoy suponiendo que queremos restringir $\phi$ en sólo polinomios constantes, y allí, $\phi = id$, pero es esto correcto?

Pero a partir de ahí no proceda. ¿Alguien puede dar una pista?

-marie

Answer 1

En general, dada cualquier establece$X$$Y$, un subconjunto $S\subseteq X$, y una función de $f:X\to Y$, la función de $f|_S:S\to Y$ es la función de $f$, donde el dominio es ahora considerada $S$. El subconjunto $S\subset R[x]$ que consiste en constante polinomios pueden ser identificados con $R$ en el obvio manera, y, de hecho, usualmente escribimos $R\subset R[x]$, dejando esta identificación implícita. Así que estás en lo correcto, $\phi|_R$ significa exactamente la restricción de $\phi:R[x]\to R$ a el subconjunto de $R[x]$ que consiste en constante polinomios.

Sugerencia sobre cómo proceder: demostrar que, para cualquier anillo homomorphism $\psi:R[x]\to T$ donde $T$ podría ser cualquier anillo que sea, el lugar donde cualquier $p\in R[x]$ es enviado por $\psi$, es decir,$\psi(p)$, determina por completo cuando los elementos de $R$ son enviados, y donde $x$ es enviado. Es decir, si te digo lo $\psi$ actúa sobre los elementos de la $R$, y de cómo $\psi$ actúa en $x$, y decirle que $\psi$ es un anillo homomorphism, usted puede averiguar lo $\psi$ a cualquier elemento de $R[x]$.

Tenga en cuenta que estamos asumiendo $\phi:R[x]\to R$ no cambiar los elementos de $R$, y luego pensar acerca de dónde se $x$ se envía mediante la sustitución de homomorphism $\phi_a$...

Answer 2

% Toque $\ $$\phi$es un anillo hom $\ \phi(f+g)\: =\: \phi(f)+\phi(g),\ \ \phi(f\:g)\: =\: \phi(f)\:\phi(g)\:.\:$ ahí por la inducción

$$\phi(x)\: =\:a\ \ \Rightarrow\ \ \phi(r_0 +\: r_1\ x + \:\cdots\: + r_n\ x^n)\ =\ r_0 +\: r_1\ a +\:\cdots\: + r_n\ a^n$$

Generalmente álgebra hom es determinada por sus valores en generadores, y $R[x]$ % genera un anillo de $R$y $x$.