¿Es necesaria la finitud en este ejercicio?

Question

Esto es de Dummit&Foote Álgebra Abstracta Cap 3.1 Problema 28.

Aquí está el problema y la solución de este problema.

Dejemos que $N$ sea un subgrupo finito de $G$ y supongamos $G=\langle T\rangle$ y $N=\langle S\rangle$ para algunos subconjuntos $S$ y $T$ de $G$ . Prueba $N$ es normal en $G$ si $tSt^{-1} \subseteq N$ para todos $t \in T$ .

https://crazyproject.wordpress.com/2010/03/01/a-criterion-for-finite-subgroup-normalcy-on-generating-sets-of-the-subgroup-and-group/

Finitud de $N$ se utiliza como: $tNt^{-1}=N$ de $tNt^{-1} \subseteq N$ .

Si $N$ es infinito, entonces $G$ es infinito, por lo que $t^{-1}$ no siempre se expresa como producto finito de elementos de $T$ . Así que no podemos conseguir $t^{-1}Nt\subseteq N$ de $tNt^{-1} \subseteq N$ .

Así que no podemos evitar la línea $tNt^{-1}=N$ de $tNt^{-1} \subseteq N$ . sin finitud de $N$ .

Creo que la finitud de $N$ es crucial en esta prueba, así que creo que hay un contraejemplo de este ejercicio sin finitud.

También la dureza de tomar el contraejemplo está haciendo $T$ s.t. $\langle T\rangle=G$ . Pero, debería ser $T \neq G$ porque implica normalidad.

Tengo problemas para tomar un grupo no abeliano $G$ y $T\neq G$ s.t. $\langle T\rangle=G$ .

¿Puedes encontrar un contraejemplo de este ejercicio o sigue siendo cierto para sin finitud de $N$ ?

Answer 1

Es necesario.

Sugerencia : Considere $G={\bf Z}_2^{\bf Z}\rtimes {\bf Z}$ con la acción natural (para que $k\cdot(a_i)_{i\in {\bf Z}}=(a_{i+k})_{i\in {\bf Z}}$ ) y el subgrupo de secuencias con soporte positivo.

Answer 2

Esto ya se ha preguntado muchas veces. El contraejemplo estándar es el grupo definido por la presntación $\langle x,y \mid yxy^{-1} =x^2 \rangle$ con $T=\{ x,y \}$ , $S =\{ x \}$ . También puede definirse como un subgrupo de ${\rm GL}(2,{\mathbb Q})$ .