Cómo calcular la suma de variables aleatorias de distribución geométrica

Question

Sea $X_{i}$, $i=1,2,\dots, n$, variables aleatorias independientes de distribución geométrica, es decir, $P(X_{i}=m)=p(1-p)^{m-1}$. ¿Cómo calcular el PDF de su suma $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$?

¿Intuitivamente sé que es una distribución binomial negativa $$P\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}=n\right)=\binom{m-1}{n-1}p^{n}(1-p)^{m-n}$ $ pero cómo realizar esta deducción?

Answer 1

Deje $X_{1},X_{2},\ldots$ ser independiente rvs tener el geométrica de distribución con el parámetro $p$, es decir, $P\left[X_{i}=m\right]=pq^{m-1}$ para $m=1,2.\ldots$ (aquí se $p+q=1$).

Definir $S_{n}:=X_{1}+\cdots+X_{n}$.

Con la inducción en $n$ se puede demostrar que $S_{n}$ tiene un negativo distribución binomial con parámetros de $p$$n$, es decir, $P\left\{ S_{n}=m\right\} =\binom{m-1}{n-1}p^{n}q^{m-n}$ para $m=n,n+1,\ldots$.

Es obvio que esto es cierto para $n=1$ y para $S_{n+1}$ encontramos para $m=n+1,n+2,\ldots$:

$P\left[S_{n+1}=m\right]=\sum_{k=n}^{m-1}P\left[S_{n}=k\wedge X_{n+1}=m-k\right]=\sum_{k=n}^{m-1}P\left[S_{n}=k\right]\times P\left[X_{n+1}=m-k\right]$

De trabajo esto conduce a $P\left[S_{n+1}=m\right]=p^{n+1}q^{m-n-1}\sum_{k=n}^{m-1}\binom{k-1}{n-1}$ así que queda demostrado que $\sum_{k=n}^{m-1}\binom{k-1}{n-1}=\binom{m-1}{n}$.

Esto se puede hacer con la inducción en $m$:

$\sum_{k=n}^{m}\binom{k-1}{n-1}=\sum_{k=n}^{m-1}\binom{k-1}{n-1}+\binom{m-1}{n-1}=\binom{m-1}{n}+\binom{m-1}{n-1}=\binom{m}{n}$