Números complejos....

Question

Supongamos que a es un número complejo tal que:
$$a^2+a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+1=0$$
Si m es un número entero positivo, encuentra el valor de:
$$(a^2)^m+a^m+\frac{1}{a^m}+\frac{1}{(a^2)^m}$$

Mi enfoque:
Después de no poder resolverlo con los métodos habituales, probé un enfoque un poco más loco. Pensé que como la pregunta sugiere que el valor de la expresión no depende del valor de m, siempre que sea positivo, por lo tanto la gráfica de la expresión en el eje Y y m en el eje X sería paralela al eje X y por lo tanto la pendiente sería cero. Así que la diferencié con respecto a m y la igualé a cero y después de factorizar y resolver obtuve $a^m=-1$ o $a^m=1$ o $a^m=\left(\frac{-1}{4}+i\frac{\sqrt15}{4}\right)$ o $a^m=\left(\frac{-1}{4}-i\frac{\sqrt15}{4}\right)$ . Pero si $a^m=1$ entonces $a=1$ que no satisface la primera ecuación. Así, el valor de $$(a^2)^m+a^m+\frac{1}{a^m}+\frac{1}{(a^2)^m}=\frac{-9}{4}$$
O
$$(a^2)^m+a^m+\frac{1}{a^m}+\frac{1}{(a^2)^m}=0$$
¿Qué otro enfoque sugeriría usted? ¿Cuáles son los defectos de mi enfoque (si los hay)?

Answer 1

Si multiplicamos

$$a^2 + a + \frac1a + \frac{1}{a^2} + 1 = 0$$

con $a^2$ obtenemos (ya que evidentemente $a \neq 1$ )

$$0 = a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = \frac{a^5-1}{a-1},$$

así que $a^5 = 1$ ,

$$a = e^{(2\pi ik)/5},\quad k \in \{1,2,3,4\}.$$

Entonces, si $m$ es un múltiplo de $5$ tenemos $$(a^2)^m + a^m + \frac1{a^m} + \frac{1}{(a^2)^m} = 1+1+1+1 = 4,$$

y si $m$ no es un múltiplo de $5$ los cuatro números

$$a^{2m},\, a^m,\, a^{-m}\, a^{-2m}$$

son los números $a^2,\, a,\, a^{-1},\,a^{-2}$ , posiblemente en un orden diferente, entonces la suma es $-1$ .