Suma la serie infinita

Question

Cómo solucionar el problema:

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty }\left[ \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots \left( 2n-1\right) }{ 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}\right] ^{3} \end{ecuación *}

Puedo hacer el soporte lo, $\left[ C(2n,n)/4^{n}\right] ^{3}$, pero cómo proceder ahora.

Answer 1

Tenemos: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\,x^n = \frac{1}{\sqrt{1-x}},\tag{1} $ $ $$\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin x\right)^{2n}\,dx \tag{2}$ $ $$ \sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right)^2 x^n = \frac{2}{\pi}\,K(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-x\sin^2\theta}}\tag{3} $ $ por lo tanto por $(2)$ y $(3)$ se deduce que: $$\begin{eqnarray*}\sum_{n\geq 0}\left(\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right)^3 &=& \frac{1}{\pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}K(\sin^2 x)\,dx\\&=&\frac{4}{\pi^2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\varphi\sin^2\theta}}\,d\theta\,d\varphi\\&=&\frac{4}{\pi^2}\,K\left(\frac{1}{2}\right)^2=\color{red}{\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^4}},\tag{4}\end{eqnarray*}$ $ por lo que la serie original es igual a $\displaystyle\color{purple}{-1+\frac{\pi}{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^4}=0.39320392968567685918424626\ldots}.$

^{Nota: esto es sólo un caso muy especial de % identidad $(6)$para la Plaza del completo integral elíptico de la primera clase, además el hecho de que $K(1/2)$ puede calcularse a través de las fórmulas de reflexión y de la multiplicación para la función de $\Gamma$.}