Si el % de cero-objeto $0$ $ \Longrightarrow F(0) $es el objeto de cero cuando $F$ aditivo

Question

$ $$ F : \text{A-Mod} \to \text{A-mod} $$ be an additive functor. Then if $0$ is the zero-object $F(0) que es el cero. ¿Por qué esto es cierto?

La definición de Funtor aditivo que conozco es

$\forall \ \ M , N \in $ A-Mod $$F : \hom_{A-Mod}(M,N ) \to \hom_{A-Mod}(FM,FN ) $ $ es un morfismo de grupos abelianos.

Answer 1

Que $0_M$ y ${\rm id}_M$ denotan cero mapa el mapa y la identidad en un $A$-módulo $M$. Tenemos

$$M=0\iff 0_M={\rm id}_M.$$

Desde $F$ es un Funtor, $F({\rm id}_M)={\rm id}_{FM}$. Puesto que también es aditivo, $F(0_M)=0_{FM}$.