¿Demostrando tensoring un módulo proyectivo con un módulo de plano da un módulo proyectivo?

Question

Si $P$ es un módulo proyectivo y $M$ es un módulo plano, ambos sobre un anillo comutativo $R$, entonces ¿cómo probar que $M\otimes_R P$ es plana?

Probé usando el hecho de que $P$ es el sumando directo de un módulo libre, pero esa línea de razonamiento funciona sólo de $M$ tensored con un módulo libre da otro módulo gratuito, que no creo sea el caso. ¿Es? Si no es así, ¿cómo puedo probar que projectiveness se conserva?

Answer 1

Deje $M, N$ $R-$módulos. A continuación, el siguiente tiene.

• Si $M$ $N$ es plana, entonces también lo es $M\otimes_{R}N$: ver pregunta relacionada con la de aquí.
• Si $M$ $N$ son proyectivos, entonces también lo es $M\otimes_{R} N$. De hecho, la escritura $M\oplus M'=F,\ N\oplus N'=F'$ libre de $R-$módulos de $F,\ F'$, uno tiene que

$$ F":=F\otimes_{R}F' $$ es gratis (tensor producto de la libre módulos) y $M\otimes_{R}N$ es un sumando directo de $F''$ (como producto tensor desplazamientos directo con sumas).

• Proyectiva módulos son planas. Esto es porque la libre módulos son planas y directa sumandos de la plana módulos son planas. (Otra posible razón para esto, si se utilizan en el lenguaje, es la siguiente. Proyectiva módulos proyectivos objetos en la categoría de $R-\mathbf{Mod}$ de los módulos a través de $R$. Por lo tanto, se $F-$acíclicos para cada uno (aditivo) derecho functor exacto $F\colon R-\mathbf{Mod}\to \mathscr{D}$ a un arbitrario abelian categoría $\mathscr{D}$. En particular, un módulo proyectivo $P$ $(-\otimes P)-$acíclicos, así plana, por definición de llanura.)

(Estoy siendo un poco rápido aquí, lo admito, pero estos son todos bastante estándar de los resultados que usted puede encontrar fácilmente también en la Red).

Por lo tanto, en su caso, se entiende que el $M\otimes_{R}P$ es, sin duda plana y que es todo lo que puedo decir acerca de ella. En particular, $M\otimes_{R}P$ es no proyectiva en general: tome $M$ plana módulo que no es proyectiva (por ejemplo, $\mathbb{Q}$ visto como un $\mathbb{Z}-$módulo) y $P$ $R$ (que es proyectiva como un módulo más de sí), por lo que el $M\otimes_{R}R\simeq M$, que no es proyectiva, por supuesto.

Answer 2

Los módulos proyectivos son siempre planos. Si $P$ es un proyectivo $R$-módulo, $M$ es un plano $R$-módulo y $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ es una secuencia exacta de $R$-módulos, entonces, como $P$ plana, $0 \rightarrow P\otimes A \rightarrow P\otimes B \rightarrow P\otimes C \rightarrow 0$ es exacta, por llanura de $M$, $0 \rightarrow M \otimes (P\otimes A) \rightarrow M \otimes (P\otimes B) \rightarrow M \otimes (P\otimes C) \rightarrow 0$ es exacta. Pero esta secuencia exacta es (naturalmente) isomorfa a:

$$0 \rightarrow (M \otimes P)\otimes A \rightarrow (M \otimes P)\otimes B \rightarrow (M \otimes P)\otimes C \rightarrow 0$$

por lo tanto $M \otimes P$ es plana, según se requiera.