Cómo investigar en la convergencia absoluta y convergencia de las siguientes integrales: $$\int \limits_0^1 \frac{\sin(1/x)}{(\sqrt{x} - x)^n}$$ for all real values of $n$?
He intentado hacer una prueba de comparación. Para ello necesitaba un límite superior, pero no sé cómo elegir.
UPD
Como @zhw. señaló hice sustitución de $x = 1/y$ y consiguió $$\int \limits_1^{\pi/2} \frac{\sin y \cdot y^{n - 2}}{(\sqrt{y} - 1)^n}dy + \int \limits_{\pi/2}^{\infty} \frac{\sin y \cdot y^{n - 2}}{(\sqrt{y} - 1)^n}dy$$
Para la primera integral quiero usar expansión de Taylor para $\sqrt{y}$ $y = 1$ y también el numerador puede ser acotado por una constante: $$\int \limits_1^{\pi/2} \frac{\sin y \cdot y^{n - 2}}{(\sqrt{y} - 1)^n}dy < \int \limits_1^{\pi/2} \frac{c}{(\sqrt{y} - 1)^n}dy \sim \int \limits_1^{\pi/2} \frac{c}{(1+ \frac{y - 1}{2} + O((y - 1)^2) - 1)^n}dy = \int \limits_1^{\pi/2} \frac{c}{(\frac{y - 1}{2} + O((y - 1)^2))^n}dy$$ .
Realmente no sé cómo proceder. Y también no me gusta saltar con la equivalencia.
Para el derecho integral que probablemente yo podría decir que como $y \to \infty \Rightarrow (\sqrt{y} - 1)^n \sim y^{n/2}$, pero de nuevo, yo quiero ser totalmente correcto con este paso.
Parece que convergen $n < 1$.
No puedo decir nada acerca de convergencia absoluta.
