Encontrar el área del triángulo 4, dadas las áreas de los otros 3 y la 4 forma un rectángulo

Question

En una de mis clases de tutoría, cuando yo era studdying en 9 de clase (estoy en 10 ahora), nuestro tutor nos dio un problema diciendo que es difícil, y a él, que estaba incompleta.

Esto es que el problema:

En un rectángulo ABCD, el punto B se une a los puntos P y Q en los lados AD y DC respectivamente. Y P y Q se unen para formar tres distintas triángulo; es decir, PDQ o x, QCB o y, BAP o z y BPQ o f.

Dado que la zona de x = 3m^2, y = 4m^2 y z = 5 m^2, hallar el área de f.

Nota: toda la información con respecto a este problema ha sido siempre. Las dimensiones de cualquiera de los segmentos de línea se desconoce. Esto también significa que la posición exacta de P y Q en sus respectivos segmentos de línea son también no se conoce.

Debido a la falta de información (Ver Nota), mi tutor declarado como incompleta del problema (que es sólo una escuela secundaria de la Ciencia y profesor de Matemáticas, por favor no esperes que él piense más allá de los límites de un típico estudiante de secundaria, que es, en el caso de que él está equivocado).

Después de un par de horas de lluvia de ideas, se me ocurrió lo que he llamado un ingenioso método. Pero luego sentí que mi método en realidad no era exacta.

Así que, ¿alguien puede decirme si este problema es completa y solucionable, si sí, es mi método correcto (ver más abajo), si no, ¿cuál es la mejor/mejor método para resolverlo.

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MI MÉTODO:

Como todos los triángulos con sus áreas están en el borde del rectángulo, sabemos que no todos son triángulos rectángulos. Así que podemos decir que uno de los brazos de la derecha ángulo es la altitud y el otro es la base.

Ahora, podemos usar la fórmula (1/2) * base * altura para calcular sus áreas. Permite tomar una como la altitud y b como base.

(Aquí la primera parte de la broma) ahora tratamos de todas las posibles _a_s y _b_s para los tres triángulos, donde un y b son números naturales solamente. (Este es también el lugar donde la principal debilidad de mi método. Más números, es decir, cualquier número real debería haber sido tratado, pero que no es factible). Tenga en cuenta que todos los valores posibles son aquellos valores que forman un triángulo de área especificada.

Para el triángulo x, tenemos las siguientes dimensiones: -a = 1, b = 6 -a = 2, b = 3 -a = 3, b = 2 -a = 6, b = 1 #

Para el triángulo y, tenemos las siguientes dimensiones: -a = 1, b = 8 -a = 2, b = 4 -a = 4, b = 2# -a = 8, b = 1

Para el triángulo z, tenemos las siguientes dimensiones: -a = 1, b = 10 -a = 2, b = 5 -a = 5, b = 2 -a = 10, b = 1#

(Aquí está la otra parte de la broma) a Continuación, seleccionamos aquellas dimensiones específicas de los triángulos, que cuando se colocan juntos en forma de rectángulo.

Las condiciones que se requieren: Cuando los triángulos son colocados juntos para formar un cuadrilátero de lados opuestos de la misma debe ser igual.

Si este cuadrilátero de lados opuestos son iguales, sabemos que es un paralelogramo. Y como todos los triángulos que forman los bordes en ángulo recto, tenemos al menos uno de los ángulos del paralelogramo derecho angled_, así que sabemos que este paralelogramo es un rectángulo.

El conjunto correcto de las dimensiones (que vamos a utilizar aquí) son de alta iluminado en negrita, mientras que el una vez que el sufijo con un '#' también puede ser utilizado.

Así, en el triángulo x tomamos PD como la altitud y la DQ como base. En el triángulo y nos tomamos BC como la altitud y la CQ como base. En el triángulo z tomamos PA como la altitud y la AB como base.

De ahora en adelante, ahora tenemos: (PA + PD) = BC (DQ + CQ) = AB Por lo tanto, la condición de concordancia.

AHORA TENEMOS LAS DIMENSIONES CORRECTAS DE LOS TRES TRIÁNGULOS

Ahora podemos hallar el área de f por encontrar el área del rectángulo y restar las áreas de los tres triángulos, o por la búsqueda de los tres triángulo de hipotenusa utilizando la fórmula de Pitágoras y, a continuación, aplicar el _Herron la fórmula de _on las hipotenusas. Yo prefiero la primera.

>Después de calcular, tenemos, _f = 8m^2_

Gracias =)

Answer 1

Que BC = 1 unidad. Entonces, $4 = y = [\triangle CBQ] = \frac {1.QC}{2}$ rendimientos QC = 8 unidades

Que DQ = s unidades. Entonces AB = s + 8 unidades

rendimientos de $5 = z = [\triangle ABP] = \frac {(s+8).AP}{2}$ $AP = \frac {10}{s + 8}$ unidades

$DP = 1 – AP = … = \frac {s – 2}{s + 8}$

Del mismo modo, $3 = (\frac {1}{2}) {s}{\frac{ s – 2}{s + 8}}$.

El resultado anterior es una solución cuadrática con raíces $s = 12$ o $–4$ (rechazado)

Por lo tanto, el rectángulo ocupa 20 unidades cuadradas y x, y, z ocupan... Dar f =...

Answer 2

Que BC = h y AB = k

QC = 8/h (desde zona BCQ = 4)

AP = 10/k (desde zona de ABP = 5)

(h - 10/k) (k - 8/h) = 6 (desde zona de DPQ = 3)

Ahora: k = 20/h o k = 4/h (<> h 0)

Puesto que el área del rectángulo es k * h y mayor de 12 años tenemos que ignorar la segunda solución.

Usando la primera solución obtenemos 20 como el área del rectángulo y f = 8.

Puesto que sólo hay una solución, llamaría el problema completo.

Answer 3

Fantástico problema! Gracias por compartir. He resuelto con Euler Math Toolbox (véase a continuación). Sin embargo, me gustaría ver más solución geométrica. Probablemente, yo sólo soy ciego ahora.

El método de la solución es sencilla. $xh$ $x$ dependiendo $a$ $b$ (computación en el área de lado los tiempos de lado, dividido por 2). $fh$ $f$ dependiendo de la $a$, $b$, $z$ y $y$. Luego, sorprendentemente, podemos deshacernos de la superficie total $a*b=x+y+z+f$

>xh &= (b-2*z/a)*(a-2*y/b)/2

$${ (a - {{2y} \over b} ) (b - {{2z} \over a} )} \over 2$$

>fh &= expand(a*b-(xh+y+z))

$${{ab} \over 2} - {{2yz} \over {ab}}$$

>fhh &= subst(x+y+z+f,a*b,fh)

$${{z + y + x + f} \over 2} - {{ 2yz} \over {z + y + x + f}}$$

>&solve(f=fhh,f), function f(x,y,z) &= f with %[2]

$$[ {f = -\sqrt {z^2 - 2yz + 2xz + y^2 + 2xy + x^2}, f = \sqrt {z^2 - 2yz + 2xz + y^2 + 2xy + x^2}} ]$$

$$\sqrt {x^2 - 2yz +2xz + y^2 + 2xy + x^2}$$

>f(3,4,5)

$$8$$