¿Por qué esta métrica no cubre todo el espacio de Sitter?

Question

Estoy trabajando en un problema de Carroll Espacio-tiempo y geometría . Supuestamente debería poder utilizar la ecuación geodésica

$$\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=0$$ para demostrar que la métrica plana de Sitter

$$ ds^2=-dt^2+e^{2Ht}[dx^2 + dy^2 + dz^2] $$

no cubre la totalidad del colector conocido como espacio de Sitter. Me urge combinar estas dos ecuaciones para resolver el parámetro afín $\lambda$ en función de $t$ y luego mostrar que las geodésicas del espacio alcanzan $t=-\infty$ en un valor finito del parámetro afín, demostrando lo que pretendía demostrar. Comienzo parametrizando la métrica en términos del tiempo propio, $\tau$ $(\lambda = \tau)$ para ceder:

$$-1 =-\frac{dt^2}{d\lambda^2}+e^{2Ht}[\frac{dx^2}{d\lambda^2} + \frac{dy^2}{d\lambda^2} + \frac{dz^2}{d\lambda^2}] $$

Y a partir de la ecuación geodésica, derivo:

$$\frac{d^2 x^i}{d\lambda^2} = -2H\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)\left(\frac{dx^i}{d\lambda}\right) $$

Para resolver cualquiera de estas tres ecuaciones, digamos, por ejemplo, la primera, hago la subsitución:

$$\nu = \frac{dx}{d\lambda}, t'=\frac{dt}{d\lambda} $$

entonces

$$\nu'=-2H\nu t'\\\nu'/t'=\frac{d\nu}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dt}=-2H\nu=\frac{d\nu}{dt}\\\frac{d\nu}{dt}=-2H\nu\Rightarrow\nu = C_1e^{-2Ht}$$

Sustituyendo de nuevo en la métrica, me queda:

$$1 = \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 - e^{2Ht}\left(\sum_i C_i^2 e^{-4Ht}\right)$$

Definir $\sum_i C_i^2 = \alpha$ cediendo: $$ \frac{dt}{d\lambda} = \sqrt{1 + \alpha e^{-2Ht}} $$

No consigo encontrar una buena solución analítica para $\lambda(t)$ que demuestra que $t \rightarrow -\infty$ en un valor finito del parámetro afín sin depender de un ordenador, y esto no me deja ninguna intuición física (o matemática) agradable para lo que sucede en el problema. ¿He cometido un error en alguna parte, o es esto, como diría Walter Cronkite (y mi profesor de RG), "lo que hay"? ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta o mostrarme cómo proceder? Gracias de antemano.

Answer 1

Consideramos la métrica

$$\mathrm{d}s^2=-\mathrm{d}t^2+a^2(t)\mathrm{d}\vec x^2 $$

donde $a(t):= a_0e^{Ht}$ . Para mostrar que estas coordenadas no cubren la totalidad de la variedad del espaciotiempo, consideramos la trayectoria de un observador en caída libre, lo que, por supuesto, extremiza el tiempo propio $$\tau=\int\mathrm{d}t\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}} $$ Realizar la variación es bastante sencillo. Tras aplicar la regla de la cadena unas cuantas veces, obtenemos: $$\frac{\delta \tau[\vec x(t)]}{\delta \vec x(t)}=0\implies -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{a^2\dot{\vec x}}{\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}}=:-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec p=0$$ donde ahora hemos introducido el momento (por unidad de masa) $\vec p$ . Nótese que esto tiene sentido, porque un observador que cae libremente no experimenta fuerzas, por lo tanto el momento debe ser constante. De nuestra definición del momento derivamos la útil identidad $$\frac{a^4\dot{\vec x^2}}{1-a^2\dot{\vec x^2}}=\vec p^2\implies \vec p^2+a^2=\frac{a^2}{1-a^2\dot{\vec x^2}} \implies \frac{\vec p^2+a^2}{\vec p^2}=\frac{1}{a^2\dot{\vec x^2}} $$ Ahora, consideramos con una velocidad no nula a $t=0$ es decir $\dot{\vec x}\neq 0$ para que $|p|\neq 0$ y evaluamos explícitamente el tiempo propio transcurrido entre $t=-\infty$ y $t=0$ . Se obtiene $$\tau_0=\int_{-\infty}^0\int\mathrm{d}t\sqrt{1-a^2\dot{\vec x^2}}=\int_{-\infty}^0\mathrm{d}t\frac{a(t)}{\sqrt{\vec p^2+a^2(t)}} $$ Usando--una vez más--la regla de la cadena, podemos cambiar a una integral sobre $a(t)$ que se puede hacer con el tipo de cambio de variables "habitual" que implica funciones trigonométricas inversas. Esto se deja como ejercicio (en parte para evitar que esta respuesta sea abusada por estudiantes perezosos), y sólo citamos el resultado: $$\tau_0=H^{-1}\sinh^{-1}\frac{1}{|\vec p| }$$ que obviamente es finito para los momentos no nulos (el caso de momento nulo que da lugar a infinito también es físicamente muy razonable: Si te quedas quieto nunca llegarás al borde). Por lo tanto, un observador viene "desde el infinito" en un tiempo propio finito. Esto no puede ser cierto, a no ser que las coordenadas no cubran la totalidad del colector, como se supone que hemos demostrado.