Necesito una fuente que proporciona un $W^{2,2}$-regularidad resultado lineal, elíptica sistemas en dominios no acotados.
Para ser más específicos, el estudio de la ecuación $$ -\Delta w - ic \partial_1 w + \left( \frac{c^2}{2}+2 \right)w = h ~~~ \mbox{on}~ \Omega $$ where $\Omega \subconjunto \mathbb{R}^3$ is some unbounded domain, $h$ is $L^2(\Omega \mathbb{C})$, $w : \Omega \to \mathbb{C}$ and $c \[0,\sqrt{2}]$. I want to show that if $w$ solves the above equation, then $w \W^{2,2}(\Omega \mathbb{C})$.
Por favor, observe de nuevo: $\Omega$ es ilimitado y por la identificación de $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^2$ podemos considerar $w$ como vector de valores (y por lo tanto la ecuación es lineal, elíptica sistema). I. e. $w : \Omega \to \mathbb{R}^2$ $h \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^2)$.
Este trabajo sugiere que este es un paso fácil (página 3), pero me parece que no puede encontrar una fuente. También esta respuesta a una de mis preguntas anteriores miembros de la misma cosa, pero no proporcionan una fuente (y no me pregunten por uno).
Todas las fuentes que se pueden encontrar (por ejemplo, Giaquinta, Taylor, Gilbarg+Trudinger) no se pueden hablar acerca de los sistemas o tratarlos en dominios acotados.
Cualquier sugerencia es mucho appreaciated!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a suponer que tenemos una buena límite de comportamiento (en el límite $\partial \Omega$ y a las$\infty$), por lo que libremente se puede integrar por partes.
Considere la posibilidad de $$ \begin{align} |h|^2 &= \left| - \Delta w - i c \partial_1 w + \left( \frac{c^2}{2} + 2\right) w \right| ^2 \\ & = \left| \Delta w \right|^2 + \left| c \partial_1 w \right|^2 + \left| \left( \frac{c^2}{2} + 2\right) w\right|^2 + 2 \Im \left[ c \Delta w \partial_1 \bar{w} - c \left( \frac{c^2}{2} + 2 \right) w \partial_1 \bar{w} \right] - 2 \Re \left[\Delta w \left( \frac{c^2}{2} + 2 \right) \bar{w} \right] \end{align} $$
La integración de más de $\Omega$, e integrando el último término por partes, tenemos (la norma $\|\cdot\|_k = \|\cdot\|_{W^{k,2}}$)
$$ \|h\|_{0}^2 = \|\Delta w\|^2_0 + c^2 \|\partial_1 w\|^2_0 + \left(\frac{c^2}{2} + 2\right)^2 \|w\|^2_0 + 2 \left( \frac{c^2}{2} + 2\right) \|\nabla w\|^2_0 + 2 c\int \Im \ldots $$
donde el
$$ \ldots = \Delta w \partial_1 \bar{w} - \left( \frac{c^2}{2} + 2\right) w \partial_1 \bar{w} $$
Poner las piezas imaginarias en valores absolutos tenemos
$$ \|h\|_{0}^2 \geq \|\Delta w\|^2_0 + c^2 \|\partial_1 w\|^2_0 + \left(\frac{c^2}{2} + 2\right)^2 \|w\|^2_0 + 2 \left( \frac{c^2}{2} + 2\right) \|\nabla w\|^2_0 - 2 c \left| \int \Im \ldots \right| \tag{*}$$
Ahora hemos de Cauchy-Schwarz el $\ldots$ con pesas. Tenemos que
$$ 2c\left| \int\Im\ldots \right| \leq A \|\triangle w\|^2_0 + (A^{-1} + B^{-1})c^2 \|\partial_1 w\|^2_0 + B\left(\frac{c^2}{2} + 2\right)^2\|w\|^2_0 $$
para cualquiera de los números reales positivos $A,B$. Queda por elegir el bien $A,B$.
Pero ahora se observa que el $\|\nabla w\|^2_0 = \sum \|\partial_i w\|^2_0$ contiene un factor de $\|\partial_1w\|^2_0$. Hacemos uso de ese término.
Pongámonos $A = B = (1-\epsilon)$. Conectar en la estimación de la $\Im \ldots$ en (*) obtenemos
$$ \|h\|^2_0 \geq \epsilon \|\Delta w\|^2_0 + \epsilon \left( \frac{c^2}{2} + 2\right) \|w\|^2_0 + \left(2 c^2 + 4 - \frac{2c^2}{1 - \epsilon}\right) \|\partial_1 w\|^2_0 + (c^2 + 4)\left( \|\partial_2 w\|^2_0 + \|\partial_3 w\|^2_0 \right) $$
Ahora vemos que el lado derecho $\geq C \|w\|^2_2$ para algunas constantes $C$ que depende de la constante de $c$, siempre que podemos elegir $\epsilon$ dependiendo $c$ tal que
$$ 2 c^2 \left(1 - \frac{1}{1-\epsilon}\right) + 4 > 0 $$
Un poco de manipulación algebraica muestra que esto sólo requiere
$$ \frac{2}{c^2} > \frac{\epsilon}{1-\epsilon} $$
que siempre pueden ser satisfechas $\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon}{1-\epsilon} = 0$. En el régimen en el que las $c^2 \in [0,2]$ como se supone, el valor de $\epsilon = 1/4$ es suficiente para cualquier $c$.
