Resolución de la ecuación diferencial $(x^2-y^2)y' - 2xy = 0$.

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación $$ (x^2-y^2)y " - 2xy = 0. $$

He reordenado para obtener $$ y' = f(x,y) $$ donde $$ f(x,y) = \frac{2xy}{x^2-y^2}. $$ A partir de aquí he intentado utilizar un truco que aprendí de clase en el que mostramos $x=\frac{y}{x}$ y escribir $$ \frac{z}{f(1,z)-z} = \frac{1}{x}. $$

Después de hacer un cálculo que tengo que $$ \frac{z}{f(1,z)-z} = z'\frac{(1-z^2)}{(z^3+z)}. $$ Desde aquí me gustaría usar el hecho de que $$ z'\frac{(1-z^2)}{(z^3+z)} = \frac{1}{x} $$ e integrar ambos lados. Sin embargo, estoy atascado en la integración de la mano izquierda.

¿Cómo puedo integrar el lado izquierdo, o es que hay una mejor manera de resolver esta ecuación? Gracias.

Answer 1

Corrección (después de la falta de un signo:) Como kobe señalado, el original es DE $$ (x^2-y^2)y " -2xy=0, $$ que en la ecuación para un campo de vectores lee $$ (x^2-y^2)\,dy-2xy\,dx=0\iff Im(\bar z^2\,dz)=0\text{ con } z=x+iy. $$ A partir de la compleja interpretación es directamente visible que esto no es integrable, por que tendría que ser una expresión de $Im(f(z)\,dz)$. Pero desde $\bar z=|z|^2/z$, un factor de integración se presenta como $|z|^{-4}=(x^2+y^2)^{-2}$, que las reparaciones de esta deficiencia. Entonces $$ \frac{(x^2-y^2)\,dy-2xy\,dx}{(x^2+y^2)^2}=Im(z^{-2}\,dz)=-d(Im(z^{-1})) $$ lo que implica que toda la solución de las trayectorias de la mentira en las curvas $$ -Im(z^{-1})=\frac{y}{x^2+y^2}=C\quad(\en \Bbb R) $$ que se puede resolver como $$ y^2-2y(2C)^{-1}+(2C)^{-2}=(2C)^{-2}-x^2\\ y=(2C)^{-1}\pm\sqrt{(2C)^{-2}-x^2} $$ dar las soluciones $y\equiv0$ $y=D\pm\sqrt{D^2-x^2}$ en el intervalo de $x\in[-D,D]$.

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Variante: Si uno lee demasiado rápido que la señal antes de $2xy$ se invierte, entonces $$ (x^2-y^2)dy+2xydx=0\quad (\iff Im(z^2·dz)=0) $$ es exacta la ecuación diferencial con conservadas de la cantidad o de la primera integral $x^2y-\frac13y^3$ ($=Im(\frac13 z^3)$) así que la solución radica en las curvas $$ y(y^2-3x^2)=const. $$

Answer 2

Esperemos que solo era un error tipográfico el sub que tiene.

De todos modos, el uso de $y = vx$ encontramos $$ y' = \frac{2x^2}{x^2 - x^2v^2} = \frac{v}{1-v^2} $$ Entonces tenemos $$ v + xv' = \frac{2}{1-v^2} $$ Voy a pasar más tiempo para encontrar exactamente dónde salió mal porque se ve un poco extraño (para mí de todos modos)

$$ xv' = v\frac{v^2-1 + 2}{1-v^2} = -v\frac{v^2 +1}{v^2-1} $$ Esto lleva a $$ \int \frac{v^2}{v\left(v^2+ 1\right)} -\frac{1}{v\left(v^2+ 1\right)}dv $$ La primera integral es sencilla, después de la reducción de la fracción. El segundo hace un poco más de trabajo $$ \int \frac{1}{v\left(v^2+ 1\right)} dv $$ Deje $v = \tan t$, entonces tenemos $$ \int \frac{1}{\tan t \left(\tan^2 t +1\right)} \s^2t dt = \int \frac{\s^2 t}{\tan t \s^2 t} dt = \int \frac{\cos t}{\sen t} dt $$ A continuación, reemplace todos los subtítulos que se va a hacer.

Answer 3

No necesitas hacer nada de eso. Se trata de una ecuación diferencial exacta. La solución tiene la forma $$F(x, y) = C$$ where $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2xy$$ and $% $ $\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 - y^2$