¿Las órbitas de la acción del grupo en el espacio del producto y las órbitas del estabilizador están en correspondencia biunívoca?

Question

¿Cómo probar la siguiente pregunta? Gracias ¿órbitas de la acción de grupo en el espacio del producto y las órbitas del estabilizador están en correspondencia biunívoca?

Deje que el grupo $G$ actúe de manera transitiva en un conjunto $X$. Deje que $x\in X$ y $H=\operatorname{Stab}(x)$. Deje que $G$ actúe en $X\times X$ a través de $g(x_1,x_2)=(gx_1,gx_2)$ para cualquier $g\in G$. Pruebe que todas las órbitas de $G$ en $X\times X$ están en una correspondencia biyectiva con todas las órbitas de $H$ en $X$.

Answer 1

Dado que $G$ es transitivo en $X$, las órbitas de $G$ en $X \times X$ serán las órbitas de elementos de la forma $$ (x, y), $$ para algún $y \in X.

¿Cuándo dos elementos como $(x, y), (x, z)$ están en la misma órbita de $G$? Esto ocurre si y solo si existe $g \in G$ tal que $$ (g x, g y) = (x, z), $$ es decir, si y solo si existe $g \in H$ tal que $z = g y$, es decir, si y solo si $y$ y $z$ están en la misma órbita de $H$.

Entonces, si $$ (x, y_1), (x, y_2), \dots, (x, y_n), $$ son representantes de las órbitas de $G$ en $X \times X$, entonces $$ y_1, y_2, \dots, y_n $$ serán representantes de las órbitas de $H$ en $X.

Answer 2

Para $y \in G$, escriba $\overline{y}_H$ para denotar la órbita de $H$ de $y$ $$ \overline{y}_H = \{hy : h\in H\} $$ y escriba $\overline{(x,y)}_G$ para denotar la órbita de $G$ de $(x,y) \in G\times G$ $$ \overline{(x,y)}_G = \{(gx,gy) : g\in G\} $$ Ahora considere el mapa $\overline{y}_H \mapsto \overline{(x,y)}_G$ dado por $$ hy \mapsto (hx,hy) = (x,hy) $$ Esto está bien definido, y su bijección requerida (la inyectividad es fácil, y es sobreyectiva porque la acción de $G$ en $X$ es transitiva)