Una fórmula recursiva para aproximada $e$. Probar o refutar.

Question

Deje que la secuencia de $\{x_n, n=1,2,...\}$ se define de la siguiente manera: Vamos a $x_2=x_1=1$ y para $n>2$ vamos $$x_{n+1}=x_n-\frac{1}{n}x_{n-1}.$$

Esta secuencia, generado por la recursividad anteriormente, tiende a cero extremadamente rápido. Mi conjetura es que

$$\sum_{i=1}^{\infty}x_i=e.$$

Me encontré con este problema aquí en el MSE, mientras trabajaba en una infinita cadena de Markov relacionados con el problema. La probabilidad de transición de estado de la matriz, y la tarea era encontrar las probabilidades estacionarias. La estacionario probabilidades podrían ser generados por la recursividad de la anterior pero con un desconocido $c=x_1=x_2$. Hice algunos experimentos con $c$ y los resultados me llevan a creer que $$c=e.$$

Me sorprendería si esta repetición no era conocido a alguien cerca de aquí.

Answer 1

Se puede demostrar por inducción que $x_n = \frac{1}{(n-1)!}$

$x_1$ $x_2$ satisfacer y haciendo la inducción,

$$x_{m+1} = x_{m}-\frac{1}{m}x_{m-1} = \frac{1}{(m-1)!} - \frac{1}{m}\frac{1}{(m-2)!} = \frac{1}{m!}$$

Así le serie reduce al ordinario de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ $e$

Answer 2

La repetición está satisfecho por el $$x_n=\frac{1}{\Gamma (n)}$$ So, $$\sum_{i=1}^p x_i=\frac{e\, p \,\Gamma (p,1)}{\Gamma (p+1)}$$ where appears the incomplete gamma function and the limit is effectively $$%e.

Answer 3

Los primeros términos de la secuencia son $$1,1,\frac12,\frac16,\frac1{24},\frac1{120}\cdots$$ which reconoces sin sorpresa.

De hecho, con $x_n=\dfrac1{(n-1)!}$ tiene

$$x_n=nx_{n+1},$ $$$ x_{n-1}=n(n-1)x_{n+1}, por lo tanto, $$x_n-\frac nn(n-1)x_{n-1}=x_{n+1}.

Nada nuevo, lo siento.