En la definición de mayor peso

Question

Deje $\mathfrak{g}$ ser un complejo de Lie semisimple álgebra y $M$ un finito-dimensional representación de $\mathfrak{g}$ (o más en general, un elemento de la categoría $\mathcal{O}$).

Deje $\mathfrak{h}$ ser un Cartan subalgebra, $\Phi^+$ un sistema de positivo de la raíz y considerar el orden parcial en $\mathfrak{h}^*$ inducida por $\Phi^+$. Deje $\Psi(M)\subseteq\mathfrak{h}^*$ el conjunto de pesos de $M$. Aquí hay dos definiciones estándar:

$(1)$ Un mayor peso, es un elemento maximal de a $\Psi(M)$ con respecto a este orden parcial. Es decir, $\lambda$ es un mayor peso, si para todas las $\mu\in\Psi(M)$, $\mu$ no se puede comparar a $\lambda$ o $\mu\leq\lambda$.

$(2)$ $\lambda\in\Psi(M)$ es un peso más alto , si existe un valor distinto de cero $v\in M_\lambda$ tal que $e_\alpha\cdot v=0$ todos los $\alpha\in\Phi^+$ donde $e_\alpha$ es una raíz vector de $\alpha$.

Puedo ver fácilmente que $(1)\Rightarrow(2)$. Es el recíproco también es cierto?

Answer 1

No. Considere por ejemplo, el módulo de Verma $M(0)$ $\mathfrak{sl}_2$ con mayor peso $0$. Esto tiene cociente $1$-representación irreducible dimensional y el núcleo es la Verma módulo $M(-2)$, un submódulo de $M(0)$ generado por un vector de peso más alto de peso $-2$. Desde $-2 < 0$ en el orden que está considerando, esto le da un contraejemplo (y también muestra que en módulos Verma integral pesos, usted debe esperar la implicación 2 $\implies$ (1) fallar casi todo el tiempo).

Answer 2

Elegir $\lambda$ tal que ambos $\lambda$ y $\lambda-\alpha$ son dominantes. Entonces $L(\lambda)\oplus L(\lambda-\alpha)$ es un ejemplo contrario.