¿Cómo es parece ' verdadero Teorema?

Question

Chasles Teorema en su forma fuerte, dice:

La mayoría de los generales de cuerpo rígido de desplazamiento puede ser producida por una traducción a lo largo de una línea (llamada de su tornillo de eje), seguido (antes o después) con una rotación alrededor de la misma línea.

Ahora, el Teorema de Euler dice simplemente que cualquier cuerpo rígido desplazamiento puede ser descompuesto en una rotación además de la traducción. Esto es fácil de visualizar. Pero lo que Chasles Teorema dice que es algo mucho más fuerte.

Por desgracia, no me siento capaz de visualizar. Tal vez, estoy entendiendo mal. Quiero decir, ¿cómo es posible que el eje de rotación y traslación de la misma (o en paralelo) para el caso más general, el desplazamiento.

Quiero decir, creo que de este caso:

Un cuerpo se le da un número finito de rotación sobre el eje X y luego de un número finito de traducción en torno al eje Z. ¿Cómo podemos encontrar el "tornillo" eje sobre el que ambos de ellos puede ser descrito?

Answer 1

Tenga en cuenta que el tornillo del eje no tiene que pasar a través del cuerpo. Para el ejemplo colocar el eje de rotación paralelo al eje x directamente sobre el cilindro, a continuación, gire el cilindro de 180° sobre ella. El resultado será equivalente a 180° de rotación sobre el eje x seguida de una traslación a lo largo del eje z por dos veces la distancia desde el eje x al eje de rotación. Así que para esta composición de una rotación a lo largo de otro eje es suficiente. Para obtener un menor ángulo de rotación de mantener el eje de rotación paralelo al eje x por encima del cilindro, sino que se mueven a lo largo del eje y (en el fondo de la imagen). Cuanto más atrás se mueve es el más pequeño es el ángulo de rotación respecto necesarios para poner el cilindro hacia atrás en el eje z por encima de su posición actual. Acabará girado por el mismo ángulo sobre su propio eje.

Es una observación general (de Whittaker) que la composición de una rotación y una traslación perpendicular a su eje de rotación, en el mismo ángulo alrededor de un eje paralelo. Cuando la rotación y translación de ejes no son perpendiculares que descomponen la traducción en perpendicular y paralelo de los componentes en relación a la rotación del eje. La rotación y el desplazamiento perpendicular puede ser sustituido como el anterior por una sola rotación alrededor de un eje paralelo al eje de rotación. Y puesto que las traducciones a lo largo de ejes paralelos son el equivalente del paralelo de los componentes puede ser hecho a lo largo del mismo eje.

Este es Chasles'.k.una. Bujes del teorema. Ver el detalle de la construcción y la demostración matemática en Jackson Instantánea de Movimiento de un Cuerpo Rígido.

Answer 2

Deje $\mathbb{X}^\prime$ ser la imagen de cuerpo $\mathbb{X}$ (un conjunto de puntos en el espacio Euclidiano), bajo una adecuada Euclidiana isometría $E$. Para averiguar cómo encontrar la rotación y el desplazamiento, voy a hablar de la transformación en general, entonces reformular la discusión general en una declaración de Chasles teorema.

El pensamiento general de una adecuada Euclidiana Isometría

Elija cualquier punto de $X_0$ dentro de ese conjunto y deje $X_0^\prime$ ser su imagen bajo la transformación. Sin pérdida de generalidad, establecer el origen de nuestro sistema de coordenadas en $X_0$. Ahora hay un homogénea de la rotación $R$ (es decir, uno con eje que pasa por el origen) que alinea los dos cuerpos; después de impartir esta rotación debemos traducir a través del vector $X_0^\prime-X_0$ para completar la totalidad de la transformación. Llame a esta traducción, $T$ y, a continuación, toda la transformación es $T\,R$.

Para encontrar la rotación, elija tres ortonormales de vectores definidos por las combinaciones lineales (que se encuentra a través de las bacterias Gram-Schmidt proceso) de los desplazamientos de los puntos en cada cuerpo en relación a los "orígenes" $X_0,\,X_0^\prime$. Ya que por supuesto los cuerpos son congruentes, esto es el mismo de Gram-Schmidt proceso (es decir, con la misma resta de los coeficientes en cada paso) en ambos casos. Luego simplemente impartir el único, definido de rotación a la que se asigna el correspondiente a tres vectores ortonormales en el otro.

Ahora la reformulación de la anterior para demostrar Chasles Teorema de

Descomponer la traducción de $T$ arriba en el único de los componentes de la $T_\parallel$ paralelo y $T_\perp$ ortogonal al eje de rotación de la $R$. Tenga en cuenta que $R$ viajes con $T_\parallel$, pero no con $T_\perp$. Por otra parte, el vector representado por $T_\perp$ es en el plano de rotación, y este vector de la imagen en $R$ está en el mismo plano. Así que si lo primero que imparto $R$, $T_\parallel$ (como el teorema de Chasles requeriría), todavía tenemos más pura traducción de $T_\perp$ en el plano de rotación para completar la totalidad de la transformación.

Pero ahora, en lugar de un homogénea $R$, pensamos de la misma rotación alrededor de un origen punto del eje. Deje $T_3$ ser cualquier traducción en el plano de rotación (es decir, ortogonal a $T_\parallel$): luego de la no homogénea de la rotación sobre el punto de desplazados por $T_3$ desde el origen es $T_3\,R\,T_3^{-1}$. Por lo tanto, buscamos $T_3$ tal que $T_\parallel\,T_3^{-1}\,R\,T_3 = T_\perp\,T_\parallel\,R \Rightarrow T_3^{-1}\,R\,T_3 = T_\perp\,R$ (desde traducciones conmutan). Con un poco de trabajo, usted puede mostrar esta es la traducción de $T_3$ definido por el vector $Y$$R\,Y - Y = T_\perp$, que tiene una única solución a $Y_\perp$ en el plano de rotación (desde $\ker(R-\mathrm{id})$ es cualquier vector a lo largo del eje de rotación). Así que el total de la transformación es la rotación alrededor de un eje a través del punto de desplazados $Y_\perp$$X_0$, seguido por la traducción de $T_\parallel$ a lo largo del eje de rotación; también se puede cambiar el orden de traslación y rotación, ya que una rotación siempre los viajes con una traducción a lo largo de su eje de rotación.