Dedekind ' s corte y axiomas

Question

¿Cuál es la importancia de la 3ª axioma de dedekind de la corte?

un Dedekind corte es una partición de un conjunto totalmente ordenado en dos partes vacías (a y B), tales que a es cerrado a la baja, lo que significa que para todo a en a, x ≤ a implica que x está en Una así) y B es cerrado hacia arriba, y no contiene más de un elemento.(De Wikipedia)

¿cuál es la importancia de la declaración de "no contiene el mayor elemento"?? Por favor explique en forma intuitiva.

También mi razonamiento es que si usted no sabe lo que es el mayor número en Un ¿cómo se puede calcular Menos límite Superior para la que es necesaria para la integridad de la R.

Answer 1

Cortes de Dedekind se utilizan para crear reales de números racionales, es decir, axiomáticamente, los reales son los cortes de Dedekind de los racionales. Sin condición, sin embargo, cada racional tiene dos representaciones como un Dedekind: uno donde se agrega a la clase baja y otro en el que se agrega a la clase alta. Por lo tanto la condición.

Answer 2

Por ejemplo, un dedekind corte $\sqrt{2}$:

$$\frac{1}{1} < \frac{7}{5} < \frac{41}{29} < \frac{239}{169} < \dots < \sqrt{2} < \dots < \frac{577}{408} < \frac{99}{70} < \frac{17}{12} < \frac{3}{2} $$

La mitad izquierda no tiene ningún elemento más grande desde $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Aquí está un algoritmo aproximado $\sqrt{2}$. Dice si $\frac{m}{n}$ es una estimación, entonces $\frac{m+2n}{m+n}$ es una estimación mejor.

Answer 3

Por lo que entiendo, el tercer axioma, básicamente, establece que la corte es infinito. Los elementos en la corte de Un crecimiento más alto y más alto hacia la representación del número real sin igualando o superando.

Básicamente, para $C = \{q \mid q\in\mathbb{Q}, q < x\}$ lo que representa el real $x$, entonces para cada a $q\in C$ no es un porcentaje ($q'\in C$tal que $q<q'$. Por lo tanto no hay mayor elemento en $C$. Siempre hay un elemento superior.

No sé si me salió bien, pero eso es lo que yo entendí.

Marque esta respuesta. Ayudó a hacer que mi mente alrededor del concepto de Dedekind corte.