Probabilidad de suma de cuadrados de dos números enteros es divisible por $10$

Question

Me encontré con esta pregunta hace un par de días y han estado tratando de encontrar la respuesta correcta ya. Dos números de $x$ $y$ son elegidos al azar de los números enteros $\{-n,\ldots,-1,0,1,\ldots,n\}$. ¿Cuál es el límite, como $n \to \infty$, de la probabilidad de que $x^2+y^2$ es divisible por $10$?

Empecé tratando de hacer pares de números tales por la comprobación de su posible unidad lugares.

Llegué $\{(1,3), (2, 4), (2, 6), (5, 5),\ldots\}$. Estas unidades de lugares puede establecer en un número infinito de $x$'s y $y$'s. La respuesta, sin embargo, estoy seguro de no ser mucho de una vaga figura como el infinito.

Así, supuse dos posibles soluciones - los números deben tener un patrón que se forma en una secuencia infinita, o una medida de respuesta adecuada a partir de este punto que me parece es encontrar la probabilidad de que un general de n términos.

¿Se puede tomar un montón de pares de enteros menores o iguales a 10 para encontrar la probabilidad hasta el infinito?

Estoy de proceder en la dirección correcta?

Answer 1

Va en la dirección correcta, sí.

De hecho sólo hay que centrarse en los últimos dígitos de cada número, por lo que estamos buscando dos números cuyos últimos dígitos son uno de los siguientes pares:

$(0,0),(1,3),(1,7),(2,4),(2,6),(3,9),(4,8),(5,5),(6,8),(7,9)$

Esto es sin tener en cuenta orden, y así conseguimos $2*8+2 =18$ pares si nos fijamos en orden.

Se trata de $100$ pares posibles, por lo que la probabilidad que buscas es $0.18$ o $18\%$

Answer 2

La posible unidad de dígitos del cuadrado de un número natural es $1,4,5,6,9$.La posible desordenada de los pares que hacen que la unidad de dos dígitos $0$ (de Modo que el número es divisible por $10$) son : $$(1,9) ; (4,6) ; (5,5) ;(0,0)$$

Ahora la distribución de la unidad de dígitos es la siguiente :

$$1 ~~~-~~~ 1,9$$ $$4 ~~~-~~~ 2,8$$ $$5 ~~~-~~~ 5~~~$$ $$6 ~~~-~~~ 4,6$$ $$9 ~~~-~~~ 3,7$$ $$0 ~~~-~~~ 0~~~~$$

Probabilidad de que la unidad de los dígitos de : $$(1,9)= \dfrac{2}{10} \times \dfrac{2}{10} \times \underbrace{2}_{\text{order}}$$ $$(4,6)= \dfrac{2}{10} \times \dfrac{2}{10}\times \underbrace{2}_{\text{fin de}}$$ $$(5,5)= \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10}$$ $$(0,0)= \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10}$$

Ahora usted puede agregar todos estos y obtener la probabilidad de ser $\dfrac{18}{100}=0.18$

Answer 3

Dos números son elegidos al azar entre todos los que no son números enteros negativos

Como Patrick Stevems implica en un comentario, no hay una distribución uniforme en los enteros no negativos. Así que la pregunta es, estrictamente hablando, sin sentido.

Pero todos sabemos lo que significa. Para hacer que sea riguroso, puede volver a la frase:

Dos números de $x$ $y$ son elegidos al azar de los números enteros $0,...,n$. ¿Cuál es el límite, como $n$ tiende a infinito, la probabilidad de que $x^2+y^2$ es divisible por $10$?

En general, un límite es no garantiza que existe. Pero en nuestro caso no existe, y es fácil de calcular. Ver Bram28 la respuesta para los detalles.