¿Entero $k > 1$, es $\sum_{i=0}^{\infty} 1/k^{2^i}$ trascendental o algebraica o desconocido?

Question

Título lo dice todo, que tengo un picor sobre series como esta que parecen caer en la zona gris donde las pruebas clásicas que racional sumas parciales que convergen rápidamente deben converger a trascendental no parecen aplicarse. Este es un caso especial, alguno sabe si la serie

$$\sum_{i=0}^{\infty} \frac1{k^{2^i}}$$

¿converge a algebraica o trascendental, tal vez la respuesta/falta de respuesta dependiendo de la elección del número entero $k > 1$?

Answer 1

(Lo que aprendí leyendo el artículo de Wikipedia sobre números transcendental)

Si $a$ es un número algébrico en $(-1,1)$, ha sido demostrado que cualquier número de la forma:

$$\sum_{i=0}^{\infty}a^{2^i}$$

es trascendental. Que $a=\frac{1}{k}$ para responder a su pregunta. El artículo atribuye este resultado a Loxton y referencias el capítulo de th de $13$ del libro los Nuevos avances en la teoría de la trascendencia por Alan Baker.

Answer 2

Sigue de Teorema de Liouville. Las sumas parciales convergen demasiado bien.

http://www-users.Math.umn.edu/~Garrett/m/MFmS/notes_2013-14/04b_Liouville_approx.pdf

Asumir que es algebraica de grado $n$ y entonces aplicar el teorema.