Dado $u \in \mathcal{C}^\infty_0(\mathbb{R}^n)$ , $u \geq 0$ en todas partes, es $v(x) = \sqrt{u(x)}$ también en $\mathcal{C}^\infty_0$ ? Está claro que los únicos puntos problemáticos son los límites del soporte, donde hay que demostrar que todas las derivadas desaparecen.
Agradecería cualquier ayuda.
Hay un ejemplo de un no negativo $u\in\mathcal{C}^\infty_0(\mathbf{R}^2)$ que no admite una raíz cuadrada diferenciable. A saber, $u = (x^2 + y^2)\varphi$ , donde $\varphi$ es un bache localizado en $0$ . Las únicas raíces cuadradas continuas de $u$ son $\pm\sqrt{x^2 + y^2}\sqrt{\varphi}$ , ninguno de los cuales es diferenciable en $0$ .
Edición: mi anterior incorrecto respuesta fue: .... "para demostrar que el $n$ -la derivada de la raíz cuadrada existe (y desaparece) en un punto límite, utilice la existencia y desaparición de todas las derivadas hasta el orden $2n$ de la función original, en una expansión Taylor-Maclaurin con resto".
Edición: Pero ya hay problemas en los puntos interiores, como muestran los comentarios y los ejemplos.
¡Gracias! ¿Puede aclarar: en torno a qué punto debo tomar la serie de Taylor? La serie de Taylor de $\sqrt{y}$ no existe en $y=0$ .
Sí, es cierto, $\sqrt{y}$ no es suave en $y=0$ ... pero, también, $y$ no se desvanece a gran orden allí. Una función que desaparece de orden $2n$ en un punto es $n$ -diferenciable. Es decir, mira la expansión de Taylor de la función dada para estimar la raíz cuadrada, mostrando que la raíz cuadrada es continua, diferenciable, etc.
Este hilo de MO contiene una discusión. En la sección 2 aquí (de la respuesta de Palais) la función $$f(x) = \exp\left(-\frac{1}{|x|}\right) \left[\sin^2\left(\frac{\pi}{|x|}\right) + \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]$$ es un ejemplo de función suave no negativa que sólo desaparece en $0$ admitiendo un $C^1$ raíz cuadrada, pero no raíz cuadrada de regularidad $C^{1,\alpha}$ con $0 \lt \alpha \lt 1$ . Multiplicar $f$ por una función de protuberancia suave centrada en $0$ para obtener un ejemplo con soporte compacto.
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¿Quieres preguntar si existe $v\in\mathcal{C}^\infty_0$ tal que $v^2 = u$ ? (Tal y como está planteada la pregunta, parece que estás tomando $v(x)$ para ser la única raíz cuadrada no negativa de $u(x)$ , en cuyo caso se toma $n=1$ y $u$ para ser $x^2$ (veces un bulto) es un contraejemplo, ya que $\sqrt{u}$ es localmente $|x|$ .
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Sí, tienes razón... Esa era la intención de mi pregunta, tomar la única raíz cuadrada no negativa. Me quedé ciego por la aplicación supongo. ¡Gracias por el contraejemplo!