¿Existe una forma "canónica" de parametrizar los elementos de $\operatorname{SO}(N)$ ?

Question

En SO(3) los métodos de parametrización de las rotaciones en términos de rotaciones simples secuenciales se clasifican como Ángulos de Euler o de Tait-Bryan Los ángulos de Euler se consideran a menudo la forma canónica de escribir las rotaciones en física. ¿Existe un conjunto de ángulos para rotaciones de N dimensiones que tenga un estatus canónico similar en física? En términos técnicos, tengo curiosidad por saber si existe un método ampliamente utilizado para parametrizar el $N$ -de la representación de la dimensión, la definición y la $\operatorname{SO}(N)$ en términos de ángulos de rotación.

Lo que más veo cuando se trata de $\operatorname{SO}(N)$ es un Generador de grupos de Lie centrado parametrización como $$R = \exp\left(\omega_{ij}J^{ij}\right),$$ donde $\omega_{ij}=-\omega_{ji}$ es la matriz de parámetros, y la $J^{ij}$ son los $\frac{N\cdot(N-1)}{2}$ matrices generadoras; $J^{ij}$ para cada $i$ y $j$ es un $d\times d$ matriz en el $d$ -representación dimensional. Esta representación es conveniente para muchos propósitos, especialmente cuando se trata de representaciones de diferentes dimensiones del mismo grupo o cuando todo lo que se necesita se puede hacer con transformaciones infinitesimales, pero no es obvio qué límites se necesitan en $\omega_{ij}$ para obtener una única cobertura del conjunto (excepto en los conjuntos de medida cero que son generalizaciones de los polos que producen bloqueo del cardán en 3- $d$ ).

Aquí es un ejemplo de parametrización explícita de la representación definitoria de $\operatorname{SO}(N)$ que es una cubierta única del grupo (incluye restricciones de dominio en los ángulos), y tiene el elemento de volumen.

Answer 1

[Aquí hay una respuesta parcial que no tiene que ver con el rango de los ángulos].

No existe una parametrización "canónica", pero algunas son más convenientes que otras dependiendo de su aplicación.

Una buena referencia es el libro de: Murnaghan, F. D. (1962). Los grupos unitarios y de rotación (Vol. 3). Libros Espartanos . El punto clave de este libro es que muchas parametrizaciones de los grupos de rotación pueden obtenerse a partir de una parametrización del grupo unitario mediante la eliminación de fases. Ver también del mismo autor Murnaghan, Francis Dominic. Sobre un sistema conveniente de parámetros para el grupo unitario. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (1952): 127-129.

Dada la observación anterior sobre la conexión entre la parametrización de los elementos en el grupo unitario y de rotación, hay una serie de opciones convenientes.

Las más fáciles en mi opinión son por una secuencia de rotaciones adyacentes. En SO(4) y SO(5) esto sería \begin {align} { \cal SO}(4) \sim &R_{12}( \theta_1 )R_{23}( \theta_2 )R_{34}( \theta_3 )R_{12}( \theta_4 )R_{23}( \theta_5 )R_{12}( \theta_6 ) \\ { \cal SO}(5) \sim &R_{12}( \theta_1 )R_{23}( \theta_2 )R_{34}( \theta_3 )R_{45}( \theta_4 ) \times { \cal SO}(4) \end {alinear} como una restricción de la parametrización de esta presentación arXiv . Tiene la ventaja de utilizar sólo transformaciones adyacentes, es decir $J^{i,i+1}$ . En relación con esto están este esquema y el documento Reck, Michael, et al. Realización experimental de cualquier operador unitario discreto. Physical Review Letters 73.1 (1994): 58 (que desgraciadamente no parece ser de libre acceso en la web), aunque Reck et al utilizan transformaciones no adyacentes.

También hay una buena parametrización en este documento que utiliza una secuencia diferente de transformaciones adyacentes, pero más parecida a $$ {\cal SO}(5)\sim R_{34}R_{45}R_{12}R_{23}R_{34}R_{45}R_{12}R_{23}R_{34}R_{12} $$ (los parámetros están implícitos en cada $R_{ij}$ ). La versión unitaria es agradable porque (como se comenta en el artículo) reduce la "profundidad óptica" del dispositivo y, por tanto, es muy útil para minimizar las pérdidas. Supongo que la versión de rotación tendría la misma propiedad.

Hay información adicional disponible en el libro de texto de Robert Gilmore. Este tema tuvo sus momentos hace muchos años.

Answer 2

Sólo un pequeño complemento a los comentarios y la respuesta a esta importante pregunta.

Esta parametrización (con un dominio preciso, véase la ec. (18) en la referencia de abajo) ya fue dada por Adolf Hurwitz en 1897 cuando inventó la medida de Haar. El artículo es accesible a través de este enlace .

En el caso unitario relacionado, hay una discusión detallada de la parametrización explícita del tipo de ángulos de Euler en la sección 2.3 del reciente libro "Log-Gases and Random Matrices" de Peter Forrester.