Deje $f:\mathbb{R}\longrightarrow[-1,1]$ ser una función dos veces diferenciable tal que $$f(0)^2+f'(0)^2=4.$$
Demostrar o dar un contraejemplo que para todos los de la función $f$ existe $c\in \mathbb{R}$ tal que $f(c)+f''(c)=0$.
La función de $f(x)=\sin{2x}$ satisface las condiciones y el resultado. Pero, ¿cómo podemos probar el resultado para todos los $f$ o refutar? Yo realmente no puede ver ningún contraejemplo. Traté de observar la función $g(x)=f(x)^2+f'(x)^2$ (observar que $g'(x)=2f'(x)[f(x)+f''(x)]$) y pensé que me lo demostró el resultado de la búsqueda de un punto que satisface $g'(c)=0$, pero me doy cuenta de que quizás $f'(c)=0$, y desde ese momento no pude probar nada útil.
