Supongamos que sobre $ \mathbb {Z}$ se nos da un polinomio irreducible $p(x)$ .
¿Podemos decir que $p(x)$ representa al menos una primicia como $x$ corre a través de números enteros?
Gracias de antemano.
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David HAust
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2696
No, por ejemplo, irreducible $ \rm\ f(x)\, =\, x(x+1)+4\ $ es parejo pero $ \rm\ :f(x) \ne \pm 2.$
Sin embargo, tal divisores fijos de todos los valores de $ \rm\ ,f\,$ son esencialmente la única obstrucción conocida a los valores primarios. Como motivación, empecemos con un resultado inverso. En $1918$ Stackel publicó la siguiente observación simple:
Teorema Si $ \rm\ , f(x)\,$ es un polinomio de coeficiente entero compuesto entonces $ \rm\ , f(n)\, $ es compuesto para todos $ \rm\ ,|n| > B,\, $ para algunos obligados $ \rm\ ,B.\,$ De hecho $ \rm\ , f(n)\, $ tiene a lo sumo $ \rm\ , 2d\, $ valores primarios, donde $ \rm\ , d = { \rm deg}(f)$ .
La prueba simple se puede encontrar en línea en Mott & Rose [3] , p. 8. Recomiendo encarecidamente este delicioso y estimulante $27$ El papel de la página que discute los polinomios de producción primaria y temas relacionados.
Contrapositivamente, $ \rm\ , f(x)\, $ es primo (irreducible) si asume un valor primo para los suficientemente grandes $ \rm\ , |x|\, $ . Como ejemplo, Polya-Szego popularizó la prueba de irreductibilidad de A. Cohn, que afirma que $ \rm\ , f(x) \in \mathbb Z[x]\,$ es primordial si $ \rm\ , f(b)\, $ produce una primicia en radix $ \rm\ ,b\,$ representación (por lo que necesariamente $ \rm\ ,0 \le f_i < b).$
Por ejemplo $ \rm\ ,f(x) = x^4 + 6\, x^2 + 1 \pmod p\,$ factores para todos los primos $ \rm\ ,p,\,$ todavía $ \rm\ ,f(x)\,$ es el mejor desde que $ \rm\ ,f(8) = 10601 \rm $ octal $= 4481$ es primordial. La prueba de Cohn falla si, en radix $ \rm\ ,b,\,$ se permiten los dígitos negativos, por ejemplo. $ \rm\ ,f(x)\, =\, x^3 - 9 x^2 + x-9\, =\, (x-9)\,(x^2 + 1)\,$ pero $ \rm\ ,f(10) = 101\,$ es primordial.
Por el contrario, Bouniakowski conjeturó $(1857)$ que la primera $ \rm\ , f(x)\, $ asume infinitos valores primos (excluyendo casos en los que todos los valores de $ \rm\ ,f\,$ tienen divisores comunes fijos, por ejemplo. $ \rm\ , 2\: |\: x(x+1)+2\, ).$ Sin embargo, excepto para los polinomios lineales (teorema de Dirichlet), esta conjetura nunca ha sido probada para ningún polinomio de grado $> 1.$
Nótese que un resultado que dé la existencia de un valor primario se extiende a la existencia de infinitos valores primos, para cualquier clase de polinomios cerrados por turnos, a saber, si $ \rm\ :f(n_1)\:$ es primordial, entonces $ \rm\ :g(x) = f(x+ n_1\!+1)\:$ es la primera para algunos $ \rm\ :x = n_2 \in\Bbb N,\:$ etc.
Para una discusión más detallada de la conjetura de Bouniakowski y los resultados relacionados, incluyendo argumentos heurísticos y probabilísticos, ver el capítulo 6 del libro de Ribenboim El nuevo libro de registros de números primos .
[1] Bill Dubuque, sci.math 2002-11-12, En polinomios de producción primaria.
[2] Murty, Ram. Números primos y polinomios irreductibles.
Amer. Matemáticas. Monthly, Vol. 109 (2002), no. 5, 452-458.
[3] Mott, Joe L.; Rose, Kermit. Los principales polinomios cúbicos productores.
Métodos teóricos ideales en álgebra conmutativa, 281-317.
Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 220, Dekker, Nueva York, 2001.
Oli
Puntos
89
Deje que $P(x)$ ser un polinomio de grado $ \ge 1$ con coeficientes enteros, de tal manera que no $d \gt 1$ divide todos los coeficientes.
Si $P(x)$ tiene un título $1$ Entonces $P$ representa al menos una primicia. Esto es una consecuencia del Teorema de Dirichlet sobre los primos en la progresión aritmética (y fácilmente implica que el Teorema).
Como se ha señalado, para el grado $ \ge 2$ la irreductibilidad es no es suficiente para asegurar que un polinomio representa un primo. Para algunos polinomios irreductibles $P(x)$ existe un $d \gt 1$ de tal manera que $d$ divide $P(n)$ para cada entero $n$ .
Sin embargo, eso sólo puede ocurrir por razones congruentes relativamente simples. Así que centremos la atención en los polinomios $P(x)$ para el que no existe tal universal $d$ . Desafortunadamente, es un problema abierto si tal polinomio debe representar necesariamente al menos un primo.
Ejemplo: Hay una buena cantidad de evidencia de que hay infinitamente muchos primos de la forma $x^2+1$ . Sin embargo, el hecho de que haya o no infinitamente muchos es un problema abierto desde hace mucho tiempo, a menudo llamado el La conjetura Hardy-Littlewood . Si pudiéramos mostrar que para todos $a \ne 0$ (o incluso infinitamente muchos $a$ ) existe $x$ de tal manera que $(2ax)^2+1$ es primordial, eso resolvería la conjetura Hardy-Littlewood. (Por el contrario, la conjetura Hardy-Littlewood implica que hay infinitamente muchos de esos $a$ .)
Así que la pregunta que planteaste parece ser extremadamente difícil incluso para polinomios de grado $2$ !
