Un problema de combinatoria tarjeta

Question

Suponga que tiene una cubierta de puente estándar de 52 cartas. Vamos a decir "tienes un par" Si tienes dos cartas consecutivas de la baraja con el mismo rango (2,3,4,5,6,7,8,9,10, J, Q, K, A). Si una cubierta se mezclan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tener un par en la cubierta?

He podido estimar esto muy bien usando una simulación, sino en encontrar que una solución analítica sigue siendo elusiva.

Answer 1

A continuación explico cómo enumerar todas las cubiertas sin mala pares de forma explícita. El número exacto resulta ser $$3668033946384704437729512814619767610579526911188666362431432294400.$$ Dividiendo por $52!$, me sale aproximadamente el $$0.045476282331.$$

Vamos a escribir una relación de recurrencia para $f(H,k)$, que es el número de parciales cubiertas con $t$ tarjetas apareciendo $H_t$ veces, la última carta haciendo su $k$th apariencia. El número total de cubiertas es, a continuación,$f((0,0,0,0,13),4)$.

El caso base es $f((12,1,0,0,0),1) = 52$. Ahora supongamos que se nos ha dado algunos de los $H$ $k$ tal que $H_k \geq 1$. La primera forma de $H'$ mediante el movimiento de un "rango" de$k$$k-1$. Ahora, para cada una de las $t \neq k - 1$, podemos extender cada una de las $f(H_k,t)$ parcial cubiertas de una nueva cubierta en $H_k(k-1) \cdot (4-(k-1))$ maneras. Para $t = k-1$, podemos extender la $f(H_k,k-1)$ parcial de cubiertas en sólo $(H_k(k-1)-1) \cdot (4-(k-1))$ formas (desde un rango).

Sólo hay 9481 pares de $H,k$ a considerar, por lo que incluso mi pésima implementación de python que utiliza una tabla hash para mantener un seguimiento de todas las parejas es lo suficientemente rápido.

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Michael Lugo método da $(1-3/51)^{51} \approx 0.0454176$, que está muy cerca de la respuesta correcta. La probabilidad correcta es ligeramente más grande ya que si nos imaginamos a un proceso en el que se revelan las cartas una por una, la probabilidad de que la siguiente carta es mala, comienza a $3/51$ pero eventualmente disminuye (aproximadamente).

Su aproximación a $e^{-3} \approx 0.049787$ es demasiado grande, y eso es debido a que $(1-3/n)^n$ enfoques $e^{-3}$ de los de abajo.

leonbloy la aproximación también es demasiado pequeño, por razones similares. Podemos imaginar un proceso en el que los rangos se reveló uno por uno. Después de que el primer rango se revela, un menor número de posiciones adyacentes, y por lo que la probabilidad disminuye.

Answer 2

Permite calcular la probabilidad de que un determinado rango no está emparejado. Esto es como la colocación de 4 bolas en 52 de las células, de modo que no hay consecutivos ocupó de las células. El número total de colocaciones (considerando aquí las bolas como inapreciable) es claramente

${52 \choose 4} = {{48 + 4} \choose 4}$

Aviso que este debe ser igual al número de formas de seleccionar cinco números enteros no negativos $\{a_0 a_1 a_2 a_3 a_4\}$, de modo que se suma 48. (Esto viene por la interpretación de $a_i$ como el número de celdas vacías entre ocuppied de las células.)

Ahora, el número de acuerdos con ninguna de emparejamientos es similar a la anterior, con la restricción de que el ${a_1 a_2 a_3}$ debe ser mayor que cero. Pero este es el mismo como la elección de números enteros no negativos $\{a_0 b_1 b_2 b_3 a_4\}$ ($b_i=a_i-1)$ por lo que se suma 48-3=45. Entonces, por el argumento anterior, este debe ser

${45 + 4 \choose 4} = {49 \choose 4} $

Por lo que la probabilidad de que un determinado rango (es decir, K) no formar una pareja es la razón de que los números, que da $\approx 0.7826$.

Ahora, podríamos introducir la aproximación de que la probabilidad de que rango está emparejado es el producto. Esto le da

$P \approx 0.7826^{13} \approx 0.0413$

Esto supone la independencia, que no está justificada, pero creo que debería ser una buena aproximación. Yo también siento que la probabilidad real debe ser un poco más alto, porque a sabiendas de que -dicen - rank P no está emparejado me dice que hay más probabilidad de que el rango de -digamos - K también es no vinculado.

Answer 3

Es fácil encontrar el número esperado de pares. La probabilidad de que el $k$th de la tarjeta y el $k+1$st tarjeta de formar una pareja es $3/51$ -- una vez que sabemos lo de la tarjeta de $k$ es, hay tres posibles tarjetas de $k+1$ que puede ser que hacer un par. Hay 51 sitios posibles para una pareja, por lo que el número esperado de pares es 3.

Ahora, si tuviera que adivinar, yo diría que la distribución del número de pares es aproximadamente de Poisson. Deje $A_k$ denotar el caso de que la tarjeta de $k$ y la tarjeta de $k+1$ tienen el mismo rango. A continuación, $A_k$ $A_l$ "son aproximadamente independientes" para la mayoría de las opciones de $k$$l$.

Así que, sin hacer la simulación, me imagino que la probabilidad de tener ninguna pareja está cerca de $e^{-3}$ y la probabilidad de tener al menos una pareja, es por lo tanto cerca de $1-e^{-3}$. Me interesaría saber si este está de acuerdo con su simulación.