Naturaleza de $\sum 1/f(n)$ $f(n) := n\ln(n)\ln(\ln(n))...*\ln^{(k_n)}(n)$ $k_n$ siendo el más grande número entero natural $k$ tal que $ln^{(k)}(n)≥1$

Question

Para todas las $n$ $\mathbb N^*$, que $f(n): = n*\ln(n)*\ln(\ln(n))*...*\ln^{(k_n)}(n)$, with $\ln^{(k)} $ es el logaritmo iterado veces #% de %#% y $k$ siendo el más grande número entero natural $k_n$ tal que $k$.

Estudio de la naturaleza de la serie $\ln^{(k)}(n)≥1$.

Se puede demostrar que cuando $\sum 1/f(n)$ es una constante, la serie diverge (en comparación con integral), pero aquí no es el caso. Creo que la serie también diverge. ¿Cómo probarlo?

Answer 1

Para cualquier$k\geq 0$, tenemos$k_n=k$ para $$ a_k: = \begin{matrix} &\underbrace{e^{e^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^e}}}}}} & \\ & k\mbox{ copies of }e \end {matrix} \ leq n

La suma de$1/f(n)$ en este rango de$n$, es al menos $$ \ int_ {a_k} ^ {a_ {k +1}} \ frac1 {x \ ln (x) \ ln (\ ln (x)) \ cdots \ ln ^ {(k)} (x)} dx = \ ln ^ {(k +1)} (x) \ Bigg \ vert_ {a_k} ^ {a_ {k +1}} = 1. $$

Por lo tanto, la suma de$1/f(n)$ sobre todo$n$ diverge.