No es una pregunta en SÍ sobre el hecho de que el Hamiltoniano no es invariante bajo la EM medidor de transformaciones. Quería preguntarle acerca de sus consecuencias aquí.
Sé que, en general, el Hamiltoniano y las funciones de onda transformaría en el indicador de la transformación de tal manera que la ecuación de Schrödinger, sigue siendo cierto. Específicamente, si en virtud de un medidor de transformación de $H$$\tilde{H}$$\psi$$\tilde{\psi}$, todavía Tenemos: $$ \tilde{H} \tilde{\psi}=i\hbar\partial_t\tilde{\psi}$$
También, sé que en virtud de un tiempo independiente del calibre de la transformación, si $\psi$ es un eigenstate de Hamiltonianos con energía $E$, $\tilde{\psi}$ sería el eigenstate de $\tilde{H}$ con la misma energía. Por lo que el espectro de energía de Hamiltoniano es invariante bajo el independiente del tiempo indicador de las transformaciones. Pero lo que me confunde, son dependientes del tiempo indicador de las transformaciones. Se puede observar que en el indicador de transformación de $$(\phi,\mathbf{A})\to(\phi+\partial_t \lambda,\mathbf{A}-\nabla \lambda)\qquad (1),$$ la ecuación para el Hamiltoniano se transforma en: $$\tilde{H}\tilde{\psi}=E\tilde{\psi}+\partial_t\lambda(x,t) \tilde{\psi}\qquad (2)$$ La derivación de esta relación se anexa al final de la pregunta. Así que como puede verse $\tilde{\psi}$ no son ya el eigenstate de la Hamiltoniana y parece que el espectro de energía también cambiará. Me refiero a que incluso las diferencias de energía podría cambiar en virtud de este calibre transformación.
Esto de alguna manera parece extraño para mí. Tomemos, por ejemplo, el átomo de hidrógeno. Por un lado, sabemos que el $13.6$ eV puede ser medido en el experimento, o las diferencias de energía entre los distintos niveles se puede observar con técnicas de espectroscopia, pero en el otro lado de alguna manera son dependientes en la medida que nosotros elegimos. Tomar en cuenta que el indicador de las transformaciones no representa un cambio físico en el sistema, como el cambio de el observador, pero es sólo una reformulación del mismo problema. Parece que incluso el orbital formas cambiarían con el tiempo-dependiente indicador de las transformaciones.
Es el anterior razonamiento correcto? Es la energía deferencia de un observable cantidad física o no? o tal vez sólo los autovalores de tiempo independiente de Hamiltonianos representa los niveles de energía del sistema y debemos mirar el tiempo-dependiente de la Hamiltonianos como acaba el tiempo de evolución del generador y no se relacionan de su espectro de energías del sistema. Alguien puede aclarar la situación?
Prueba de Eq. 2:(he puesto $\hbar=e=1$ por simplicidad)
Supongamos que $H=\frac{(p-A)^2}{2m}+\phi$ es el de los sistemas Hamiltonianos en el original del medidor y de la $\psi$ es uno de sus vectores propios con energía $E$, por lo que en la posición de la representación: $$H\psi=[\frac{(-i\nabla-A)^2}{2m}+\phi]\psi(x)=E\psi(x),\qquad (3)$$ Ahora, considere el indicador de la transformación que está dado por la Eq. (1), en virtud de la cual el Hamiltoniano se transforma en: $$\tilde H=\frac{(p-A+\nabla \lambda)^2}{2m}+\phi+\partial_t \lambda$$ y también la $\psi$ función de onda gustaría ir a: $$\tilde \psi(x,t)=\exp{[-i\lambda(x,t)]}\psi(x,t)$$ Es fácil ver que: $$(-i\nabla-A+\nabla \lambda)\exp{[-i\lambda(x,t)]}\psi(x,t)=\exp{[-i\lambda(x,t)]}(-i\nabla-A)\psi(x,t),\qquad (4)$$ Si operamos el $\tilde H$ $\tilde \psi$ formulario de la izquierda y utilizar Eq. 4 dos veces: $$\tilde H \tilde \psi =\exp[-i\lambda(x,t)]\Big(\frac{(-i\nabla-A)^2}{2m}+\phi\Big)\psi(x,t) +\partial_t \lambda\exp[-i\lambda(x,t)]\psi(x,t)$$ pero la expresión en el gran paréntesis es más que el original de Hamilton $H$ y según la Eq. 3, se puede reemplazar por $E$, Así: $$\tilde H\tilde \psi=E\tilde\psi +(\partial_t\lambda)\tilde\psi $$ lo que completa la prueba.
