Número de particiones específicas de un conjunto determinado

Question

Sea U el conjunto $U=\{(1,2,3,\ldots,2^m)\}$ . Sea $A$ y $B$ particiones de $U$ , de tal manera que $A \cup B$ es el conjunto $U$ y su intersección es vacía, y la suma de los elementos del primer conjunto es el mismo número de la suma de los elementos del segundo conjunto $B$ .

Cuántos $A$ y $B$ ¿existe?

Es decir, si $U=\{1,2,3,4\}$ existe un único par de conjuntos $A$ y $B$ . $A=(3,2)$ y $B=(4,1)$ porque $3+2=4+1$ Quiero saber cuántos $A$ y $B$ s existe para conjuntos más grandes $U$ .

Answer 1

Si en cambio tomamos $U=\{{1,2,3,\dots,m\}}$ entonces se ve fácilmente que la respuesta es distinta de cero sólo si $m$ reducido a módulo 4, es 0 o 3. La secuencia de valores es tabulado en la Enciclopedia Online de Secuencias de Números Enteros; comienza $$\eqalign{&0, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 7, 0, 0, 35, 62, 0, 0, 361, 657, 0, 0, 4110, 7636, 0, 0, 49910, 93846, 0, 0,\cr &632602, 1199892, 0, 0, 8273610, 15796439, 0, 0, 110826888, 212681976, 0, 0,\cr &1512776590, 2915017360, 0, 0, 20965992017, 40536016030, 0, 0, 294245741167,\cr &570497115729\cr}$$ No se da ninguna fórmula.

Si restringimos a potencias de dos, la secuencia comienza $$0,0,1,7,657=9\times73,15796439=41\times385279,24435006625667338=(2)(727)(182764397)(91951)$$ Esta secuencia no está tabulada. No soy optimista en cuanto a encontrar alguna fórmula útil para estos números.