¿Qué tan malo puede ser el comportamiento de funciones integrables Lebesgue?

Question

Sea f una función en $L^1(a, b)$, $(a, b)$ un intervalo real, y:

$E+ := \{ x \in (a, b): f(x) > 0 \}$ un conjunto no nulo,

$E := \{ x \in (a, b): f(x) = 0 \}$ un conjunto nulo,

$E- := \{ x \in (a, b): f(x) < 0 \}$ un conjunto nulo.

¿Es posible $E+$ y $E-$ que tanto vacío interior robusto?

(Es decir: para que no se pierde el vacío interior cambiando f en un conjunto nulo.)

Gracias

Answer 1

Hay un conjunto de Borel $B$ tal que, para cada intervalo de $(u, v)$ ( $u<v$ ), tenemos $$0<m(B\cap (u, v))< v-u,$$ that is, $B$ is neither null nor full measure on $(u, v)$. (Ver, por ejemplo, la Construcción de un conjunto de Borel en R tal que se cruzan cada intervalo abierto con los no-cero no"completa" de la medida.)

Ahora vamos a $f(x)=1$ si $x\in B$ $f(x)=-1$ si $x\not\in B$. Si te gusta (como a tu pregunta formulada), restringir $f$ a un intervalo $(a, b)$.