Bonita manera de pensar sobre el operador de Laplace... pero ¿cuál es la prueba?

Question

Aquí un buen dato: a grandes rasgos, el operador de Laplace le da la diferencia entre el valor de una función en un punto y el valor promedio en "vecinos", apunta.

Más precisamente, en $\mathbb{R}^n$ deje $S_r(x)$ $(n-1)$- dimensional de la esfera de radio $r$ centrada en el punto de $x$, vamos a $V_r$ ser el volumen de la esfera, y deje $d\sigma$ ser el elemento de volumen en esta esfera. Luego, en cada punto de $x \in \mathbb{R}^n$

$$ \lim_{r \rightarrow 0} \frac{\int_{S_r(x)} f d\sigma}{V_r} - f(x) = \frac{r^2}{2n} \Delta f(x) + \bar{o}(r^2) $$

para todos los $C^2$ funciones $f$$\mathbb{R}^2$. Sin embargo, hasta ahora he sido incapaz de demostrar este hecho. En el libro que estoy siguiendo (Grigor ' yan, el Calor del Núcleo y el Análisis de los Colectores) el teorema que realmente ha introducido hasta el momento es uno de Green identidades:

$$ \langle u, \Delta v \rangle = \langle \nabla u, \nabla v \rangle, $$

cuando al menos uno de $u,v$ es de forma compacta compatible y $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota el producto interior sobre $\mathbb{R}^n$. Así, parece natural considerar cualquier forma compacta-admite la función de prueba de $g \in C^1(\mathbb{R}^n)$, en cuyo caso la fórmula anterior sería algo como

$$ \frac{\int_{S_r(x)}\langle f, g \rangle d\sigma}{V_r} - \langle f, g \rangle = \frac{r^2}{2n} \langle \nabla f, \nabla g \rangle + \langle g + \bar{o}(r^2) \rangle. $$

No está seguro de que a partir de aquí, a pesar de (o incluso si esta es la dirección correcta!). Consejos/trucos son muy apreciadas. (Para que conste, yo no soy la solución de este problema como una tarea de ejercicio.)

Por último, un menor pregunta: ¿qué hace el bar expresa en $\bar{o}(r^2)$?

Gracias!

Answer 1

Dado un punto de $p$ en el dominio de la función $f$, considere la función que es el valor promedio $A(r)$ $f$ sobre la esfera $S_r$ radio $r$ centrada en $p$. Si $S^{n-1}$ es la unidad de la esfera en $\mathbb R^n$, entonces usted puede escribir la función como:

$$A(r) = \int_{S^{n-1}} f(p+rx)dx$$

Estoy integrando con respecto a la norma de contenido en la esfera, pero ajustaron de modo que la esfera tiene unidad de contenido.

La diferenciación $A(r)$ con respecto al $r$ da

$$\frac{dA}{dr} = \int_{S^{n-1}} x\cdot\nabla f(p+rx)dx$$

en la ecuación anterior $x \in S^{n-1}$ es un vector unitario, y el $\cdot$ es producto escalar de vectores.

Lo anterior puede ser interpretado como un flujo integral, de manera de Gauss teorema sobre el flujo de las integrales se aplica dando

$$\frac{dA}{dr} = r\int_{D^n} \nabla^2 f(p+rx)dx$$

ahora $x$ es una variable de la unidad de balón $D^n$.

Por lo que este le dice que los primeros términos de la expansión de Taylor para la función de $A$, en particular $A(0)=f(p)$, $A'(0)=0$, y así con las siguientes condiciones varias de $\nabla^2f(p)$. Un cálculo rápido dice que debería ser $\frac{\nabla^2(f(p))}{n}$ pero tal vez he sido demasiado vagas.