En primer lugar, observar que a pesar de la no-relativista de Lagrange no es invariante. Cambia por un total de derivados, por lo tanto las ecuaciones de los movimientos se mantienen invariables.
La razón de la diferencia entre el de Lorenz y la Galilea de los casos es que el grupo de acción del grupo de Lorentz en la clásica variables (posiciones y los ímpetus) es por medio de una representación verdadera, mientras que en el caso de Galileo grupo de la representación proyectiva.
En el Lenguaje geométrico de cuantización, $exp(i \frac{S}{\hbar})$ donde $S$ es la acción de un apartado en el $L \otimes \bar{L}$ donde $L$ es el prequantization línea de paquete y $\bar{L}$ su doble. En otras palabras, la acción no tiene que ser un escalar, sólo un exprssion de la forma:
$\bar{\psi}(t_2)exp(i \frac{S(t_1, t_2)}{\hbar})\psi(t_1)$ donde $\psi(t)$ es la función de onda en el tiempo $t$ $S(t_1, t_2)$ es la acción clásica entre el$t_1$$t_2$.
La razón por la que la representación en el caso de Galileo es proyectiva está relacionado con la nontriviality de la cohomology grupo $H^2(G, U(1))$ en el caso de Galileo, en contraste con el caso de Lorentz.
Me han dado una respuesta más detallada sobre un tema similar, en mi respuesta a Anirbit: grupo de Poincaré vs Galileo grupo y en los comentarios en el mismo.
