¿Multiplicidad algebraica = multiplicidad geométrica?

Question

Me preguntaba si la multiplicidad algebraica era igual a la multiplicidad geométrica. Si la matriz (del tamaño$n\times n$) es diagonalizable, es decir, el polinomio característico es de la forma$$p(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdot ...\cdot (x-\lambda_k)^{m_k}$ $ con$m_1+...+m_k=n$, creo que de hecho la multiplicidad algebraica de$\lambda_i$ (es decir, $m_i$) y la multiplicidad geométrica son lo mismo. ¿Pero hay casos en que no se cumple?

Answer 1

Claro, puedo dar un ejemplo simple:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end {pmatrix}. $$

El polinomio característico es$(\lambda - 1)^2$, por lo que la multiplicidad algebraica os$2$, sin embargo, la multiplicidad geométrica es$1$, de hecho$dim Ker(A-I)=1$.

Answer 2

Si$M$ es diagonalizable, entonces,$$V=E_1\oplus...\oplus E_k.$ $ Si no es diagonalizable, entonces$$V\supset E_1\oplus...\oplus E_k$ $ pero$$V\neq E_1\oplus...\oplus E_k.$ $ Por lo tanto,$$m_1+...+m_k=n:=\dim(V)>\dim(E_1)+...+\dim(E_k),$ $ y por lo tanto$$(m_1-\dim(E_1))+...+(m_k-\dim (E_k))>0.$ps

Puede mostrar fácilmente por inducción que$m_k\geq \dim(E_k)$ para todos$k$. Pero no puedes decir más.