En un reciente post en el blog de Terry Tao menciona de pasada que:
"Los grupos de la clase...se aritmética de los análogos de la (abelianised) fundamentales de los grupos en la topología, con grupos de Galois de servir como el análogo de la plena grupo fundamental."
Puede que alguien me explique exactamente en qué sentido son Galois y fundamental grupos análogos?
Vi esta pregunta hace un tiempo y sentí que algo en la forma de una (probablemente equivocada) el celo misionero para hacer al menos un par de primaria observaciones. Pero después de reflexionar, quedó claro que aún que acabaría bastante larga, por lo que es difícil encontrar el tiempo hasta ahora.
El punto hecho es una corrección: grupos fundamentales en la aritmética geometría no son los mismos grupos de Galois, per se. Por supuesto, hay una larga tradición de paralelismos entre la teoría de Galois y la teoría de cubrir espacios, como cuando Takagi escribe de ser engañado por Hilbert en la formulación de campo de la clase de teoría esencialmente en la cuenta de la inspiración de superficie de Riemann de la teoría. Y luego, Weil era plenamente consciente de que homología y los grupos de la clase son de alguna manera el mismo, mientras que la especulación de que una especie de no abelian la teoría de los números informados por el pleno de la teoría de la " Poincaré grupo' se convertirá en un ingrediente de muchos y graves aritmética de las investigaciones.
Una innovación clave de Grothendieck, sin embargo, fue el formalismo para centrar la atención sobre la base de punto. En este marco, voy a revisar brevemente a continuación, cuando uno dice $$\pi_1(Spec(F), b)\simeq Gal(\bar{F}/F),$$ la base en la notación es la elección de cierre separable $a$b:Spec(\bar{F})\rightarrow Spec(F).$$ Es decir,
Galois grupos son fundamentales los grupos genéricos de la base de puntos.
El significado de esto es más claro en el Galois de la teoría de la interpretación del grupo fundamental de la una variedad lisa de $X$. Así, la elección de un separables cierre $k(X)\hookrightarrow K$ de la función de campo $k(X)$ de $X$ puede ser visto como una base de punto $a$b:Spec(K)\rightarrow X$$ de $X$ y, a continuación, $$\pi_1(X,b)\simeq Gal(k(X)^{ur}/k(X)),$$ el grupo de Galois de la máxima sub-extensión $k(X)^{ur}$ de $K$ unramified más de $X$. Sin embargo, sería muy limitante para tomar este último objeto como la definición de grupo fundamental.
Podríamos recordar que, incluso en el caso de una trayectoria-conectado señaló espacio topológico $(M,b)$ universal cubrir el espacio $$M'\rightarrow M,$$ el isomorfismo $$Aut(M'/M)\simeq \pi_1(M,b)$$ es no canónica. Se trata más bien a partir de la elección de una base de punto de levantamiento de $b'\en M'_b$. Tanto $\pi_1(M,b)$ y $Aut(M'/M)$ actuar sobre la fibra $M'_b$, la determinación de bijections $$\pi_1(M,b)\simeq M'_b\simeq Aut(M'/M)$$ a través de la evaluación a $b$. Es divertido comprobar que el isomorfismo de grupos obtienen lo que es independiente de $b$ si y sólo si el grupo fundamental es abelian. La situación aquí es una instancia de la elección involucrados en el isomorfismo $$\pi_1(M,b_1)\simeq \pi_1(M,b_2)$$ para la base diferentes puntos de $b_1 $ y $b_2$. La consecuencia práctica es que cuando fundamentales de los grupos están equipadas con natural extra estructuras procedentes de la geometría, dice Hodge estructuras o Galois acciones, de base diferentes puntos de dar lugar a enriquecido grupos que son son a menudo realmente no isomorfos.
Una más abstracta tercer grupo es bastante importante en la discusión general sobre la base de los puntos de. Este es $$Aut(F_b),$$ el automorphism grupo de la functor $$F_b:Cov(M)\rightarrow Establece$$ que lleva una cubierta $$N\rightarrow M$$ a su fibra de $N_b$. Por lo que los elementos de $Aut(F_b)$ son compatible colecciones de $$(f_N)_N$$ indexados por coberturas de $N$ cada $f_N$ un automorphism del conjunto $N_b$. Obviamente, los recién llegados se preguntarán dónde conseguir estos compatible colecciones, pero la elevación de los bucles de caminos define natural mapa $$\pi_1(M,b)\rightarrow Aut(F_b)$$ que resulta ser un isomorfismo. Para ver esto, uno usa de nuevo la fibra $M'_b$ de el universal que cubre el espacio, en el que ambos grupos actúen de acuerdo. El punto clave es que mientras que $M$ no es en realidad universal en la categoría de sentido teórico, $(M',b')$ esuniversal entre señaló cubre. Esto es suficiente para demostrar que un elemento de $Aut(F_b)$ está totalmente determinado por su acción en $b'\en M'_b$, que conduce a otro bijection $$Aut(F_b)\simeq M'_b.$$ Tenga en cuenta que el mapa de $\pi_1(M,b)\rightarrow Aut(F_b)$ es totalmente canónica, aunque hemos utilizado la fibra de $M'_b$ de nuevo para probar bijectivity, mientras que la identificación con $Aut(M'/M)$ requiere el uso de $(M'_b,b')$ sólo por la definición.
Entre estos varios grupos isomorfos, es de $Aut(F_b)$ que termina más relevantes para la definición de la etale grupo fundamental.
Así que, para cualquier base de punto $b:Spec(K)\rightarrow X$ conectado un esquema de $X$ (donde $K$ es un separadamente campo cerrado, un 'punto' en el etale teoría), Grothendieck define el 'homotopy clases de etale bucles' como $$\pi^{et}_1(X,b):=Aut(F_b),$$ donde $$F_b:Cov(X) \rightarrow \mbox{Finito de Conjuntos}$$ es el functor que envía un número finito de etale cubriendo $$Y\rightarrow X$$ a la fibra de $Y_b$. En comparación con una construcción de $Gal(k(X)^{ur}/k(X))$, hay tres ventajas importantes para esta definición.
(1) Uno puede considerar fácilmente pequeña base de los puntos, como puede provenir de un punto racional en una variedad de más de $\mathbb{Q}$.
(2) Se convierte en algo natural para el estudio de la variación de $\pi^{et}_1(X,b)$ con $b$.
(3) es evidente que Existe una extensión de la ruta de espacios $$\pi^{et}_1(X;b,c):=Isom(F_b,F_c),$$ para hacer un dos variables la variación.
Este último, en particular, no tiene análogo en el grupo de Galois enfoque fundamentales de los grupos. Cuando $X$ es una variedad más de $\mathbb{Q}$, es posible, por ejemplo, para el estudio de $\pi^{et}_1(X,b)$ y $\pi^{et}_1(X;b,c)$ como gavillas en $Spec(\mathbb{Q})$, que codifican una rica información acerca de puntos racionales. Esta es una larga historia, que sería bastante tedioso para exponer aquí (cf. conferencia en el INI). Sin embargo, incluso una breve contemplación de puede ayudar a apreciar la aritmética perspectiva general $\pi^{et}_1$'s son mucho más potentes que los grupos de Galois. Después de haber leído hasta el momento, no debería sorprender que No estoy completamente de acuerdo con la idea, explicó, por ejemplo, en este post que un grupo de Galois es sólo un grupo de hasta conjugacy'. Para repetir una vez más, los habituales grupos de Galois son sólo fundamental grupos específicos de gran tamaño de la base de puntos. La dependencia de estos puntos, así como una generalización a pequeña base de los puntos de es de vital interés.
Aunque la base es muy prominente en Grothendieck definición, un hecho curioso es que se tomó un tiempo bastante largo para que incluso los expertos para metabolizar completamente su significado. Uno vio a la gente que se centra principalmente en la base de punto independiente de las construcciones como huellas o característica polinomios asociados a las representaciones. Mi impresión es que la iniciativa para permitir que la base de los puntos de un verdadero papel activo vino de Hodge-como teóricos de la Hain, que luego fue tomada por arithmeticians como Ihara y Deligne. Hoy en día, es posible dar conferencias completas sólo sobre la base de los puntos, como Deligne ha hecho en varias ocasiones.
Aquí es un juego de rompecabezas que he dado a mis alumnos hace un tiempo: Se ha señalado que $Gal(\bar{F}/F)$ ya se refiere a una base de punto en el Grothendieck definición. Es decir, la elección de $F\hookrightarrow \bar{F}$ da a la vez universal que cubre el espacio y una base de punto. Ahora, cuando nos volvemos hacia el colector de la situación $M'\rightarrow M$, un lector cuidadoso puede haber notado una sugerencia sobre que hay una base de punto implícito en $Aut(M'/M)$ así. Es decir, nos gustaría escribir $$Aut(M'/M)\simeq \pi_1(M,B)$$ canónicamente por alguna base de punto $B$. Lo que es de $B$?
Añadió:
-En adición a la contribución de Hodge-teóricos, debo decir que Grothendieck mismo insta a prestar atención a muchos de la base de puntos en sus escritos de los años 80, como " Esquisse d'un programa.'
-Yo también quería comentar que no estoy de acuerdo con el punto de vista de JSE la respuesta.
Añadido nuevo:
Esta pregunta me recuerda a añadir otro motivo básico para evitar que el grupo de Galois como una definición de $\pi_1$. Es bastante difícil de trabajar de la functoriality de esa manera, de nuevo debido a que la base es de recalcar. En el $Aut(F_b)$ enfoque, functoriality es esencialmente trivial.
Añadido, El 27 De Mayo:
Me di cuenta de que debo corregir una posible fuente de confusión. Si usted trabaja, usted encontrará que la bijection $$\pi_1(M,b)\simeq M'_b\simeq Aut(M'/M)$$ descrita anteriormente es en realidad un anti-isomorfismo. Esto es, el orden de la composición se invierte. En consecuencia, en el rompecabezas al final, la canónica bijection $$Aut(M'/M)\simeq \pi_1(M,B)$$ es un anti-isomorfismo así. Sin embargo, otro sencillo pero divertido ejercicio es para nota de que varios de los bijections con grupos de Galois, como $$\pi_1(Spec(F), b)\simeq Gal(\bar{F}/F),$$ son en realidad isomorphisms.
Agregó, 5 De Octubre:
Me preguntaron por un estudiante para dar respuesta al rompecabezas. El quid de la cuestión es que cualquier mapa continuo $$B:S\rightarrow M$$ de un simple conjunto conectado de $S$ puede ser utilizado como una base para la grupo fundamental. Una manera de hacerlo para utilizar $B$ a obtener una fibra functor $F_B$ que se asocia a una cubierta $$N\rightarrow M$$ $ $ el conjunto de escisiones de la cubierta $$N_B:=S\times_M N\rightarrow$ S$ $S$. Si elegimos un punto de $b'\in S$, cualquier división está determinada por su valor en $b'$, dando un bijection de functors $F_B=F_{b'}=F_b$ donde $b=B(b')\en M$. Ahora, cuando $a$B:M'\rightarrow M$$ es el universal cubrir el espacio, voy a dejar como un (tautológica) ejercicio presentan una canónica anti-isomorfismo $$Aut(F_B)\simeq Aut(M'/M).$$ El 'punto' es que $$F_B(M')$$ tiene una canónica base de puntos que pueden ser utilizados para este bijection.
Se debe pensar en los revestimientos de los colectores como análoga a la de campo de extensiones. Una vez que usted acepta esto, entonces el grupo fundamental y absoluta Galois grupo juegan el mismo papel; cubiertas corresponden a los subgrupos de la antigua y campo de extensiones a los subgrupos de la última (aunque para la absoluta Galois grupo, usted tiene que considerar su topología).
Esto puede ser hecho preciso de la geometría algebraica: si usted tiene una cubierta mapa de las variedades algebraicas, entonces el campo de función de la meta incrusta en el campo de función del dominio de la retirada, y este es un número finito de grados unramified extensión de campo.
Usted puede pensar en el levantamiento de rutas de acceso en la planta baja como ser un poco como la teoría algebraica de números: cada camino cerrado en la planta baja tiene una inversa de la imagen que de la unión de las rutas. Si la tapicería es de Galois, entonces cada uno de los componentes de la cubierta original con el mismo grado, pero de otra manera tal vez no. Usted puede pensar de la clase conjugacy de la ruta de acceso como la "Frobenius" cuya órbita tipo en el conjunto de preimages de un punto determina la "división en números primos."
Incluso hay una versión de la teoría de la L-funciones dadas por considerar el espectro de la Laplaciano de una métrica en las variedades.
Si usted está interesado, hay un hermoso libro por Tamas Szamuely derecho Galois Grupos Fundamentales y los Grupos, que se puede encontrar aquí. Comienza por buscar en grupos de Galois, fundamental grupos, y monodromy grupos de superficies de Riemann (de ahí que sólo requieren básicos de álgebra, la topología y el análisis complejo) y los puntos en común entre ellos. Finalmente se generaliza a todos los de este con Etale fundamental grupos de esquemas (esta sección posterior de la cites algunos de los resultados de álgebra conmutativa y geometría algebraica).
Aquí es una manera de que son el mismo.
Dado un (conectado y semilocally 1-conectado) espacio topológico X, considerar la categoría de no-necesariamente-conectadas con espacios de X. de esta categoría es equivalente a la categoría de conjuntos equipado con una acción de grupo fundamental de la X.
Dado un campo F, considerar la categoría de finito etale F-álgebras (cada uno de los cuales es isomorfo a un producto de copias de extensiones separables de F). Luego de esta categoría es equivalente a la categoría de conjuntos finitos equipado con una acción continua de el grupo de Galois de f
En el último caso puede sustituir a un campo de F con, digamos, un anillo o un esquema, y preguntar acerca de las finito etale cubre, y se obtiene una similar de equivalencia que implican el llamado etale grupo fundamental del objeto. En el caso de variedades algebraicas sobre los números complejos, estos finito etale mapas realmente son finitos cubriendo los mapas, y para que los dos tienen en común la generalización en algún sentido. Sobre un no-algebraicamente cerrado de campo que realmente encontrar que la etale fundamental del grupo es una extensión del grupo de Galois de la base de campo por la "geométrica" grupo fundamental.
Si usted está interesado en obtener más yo recomiendo hacer un poco de lectura en Grothendieck la teoría de la "dessin d'enfants".
(Una irritante cosa a tener en cuenta acerca de esta relación es que el estándar de la convención para la multiplicación de elementos en el grupo fundamental de la que ocurre en el frente composición fin de multiplicar los elementos en el grupo de Galois.)
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