Residuos cuadráticos: invariante en la traducción

Question

Permita que$p$ sea un número primo impar.

¿Puede el conjunto de cuadrados modulo$p$ ser invariante en la traducción?

Es decir, dado$p$, let$S = (\mathbb{F}_p^\times)^2 \cup \{0\} \subseteq \mathbb{F}_p$. ¿Puede existir$\delta \in \mathbb{F}_p^\times$ tal que$$S + \delta := \{x + \delta \mid x \in S\}$$ is again equal to $ S $?

Sospecho que la respuesta es no ...

Answer 1

Supongamos por contradicción que$S=S+\delta$ para algunos$\delta \neq 0$.

Entonces, como$0 \in S$ obtenemos$\delta \in S$ y luego por inducción que$n\delta \in S$.

Pero el grupo aditivo$(\mathbb F_p,+)$ es cíclico y generado por cualquier elemento distinto de cero. Así

$$F_p=\{ n \delta | z \in \mathbb N \} \subset S \,.$ $ Contradicción.

Answer 2

No: los cuadrados de$\mathbf F_p$ son las raíces de

ps

Si$$f(X) = X^{\frac{p+1}{2}} - X.$ es como usted describe, entonces

ps

Observa que$\delta$ $

Diferenciando la ecuación$$f(X) = f(X+\delta).$ encontramos

ps

Poniendo$$f'(X) = \frac{p+1}{2}X^{\frac{p-1}{2}} - 1.$ vemos que$f(X) = f(X+\delta)$, entonces$$\frac{p+1}{2}X^{\frac{p-1}{2}} - 1 = \frac{p+1}{2}(X+\delta)^{\frac{p-1}{2}} - 1.$.

Answer 3

Tienes razón, la respuesta es no, pero tiene poco que ver con residuos cuadráticos.

En primer lugar observamos que si un conjunto $S$ es invariante bajo la traducción en $\mathbb{F}_p$, esto significa que cualquiera de las $S$ está vacía o $S$ es el total $\mathbb{F}_p$. En nuestro caso $S$ es claramente no vacía como $0$ $1$ siempre son residuos cuadráticos.

Si $a \in S$, entonces claramente $\{a + \delta,\ a+2\delta,\ a+3\delta,\ \dots\} \subseteq S$, ya que el $S$ es invariante bajo la traducción por $\delta$, pero tenga en cuenta que para cualquier $\delta \in \mathbb{F}_p \setminus \{0\}$ el subgrupo generado por a $\delta$ debe ser de toda la $\mathbb{F}_p$, ya que la orden de un subgrupo se divide el orden de $\mathbb{F}_p$$p$.

Por lo $\{\delta,\ 2\delta,\ 3\delta,\ \dots\} = \mathbb{F}_p \Longrightarrow \{a+\delta,\ a+2\delta,\ a+3\delta,\ \dots\} = \mathbb{F}_p \Longrightarrow S \supseteq \mathbb{F}_p \Longrightarrow S = \mathbb{F}_p$

Pero cuadrática de los residuos no puede ser el todo $\mathbb{F}_p$ desde $a^2 \equiv (p-a)^2$ límites de su número suficiente para $p \geq 3$ ($-1 \neq\ 1$, pero $(-1)^2 \equiv 1^2$). Así que no hay primer y ningún cambio que puede producir el mismo conjunto de residuos cuadráticos.