Cuántas formas de escribir $2010$ ?

Question

Dejemos que $ N$ sea el número de formas de escribir $ 2010$ en la forma $ 2010 = a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$ donde el $ a_i$ son números enteros, y $ 0 \le a_i \le 99$ . Un ejemplo de esta representación es $ 1\cdot10^3 + 3\cdot10^2 + 67\cdot10^1 + 40\cdot10^0$ . Encuentre $ N$ .

Elegí el más grande $a_1$ Así que..: $a_1 = 2$ Sólo hay dos maneras de formar $2010$ .

Toma $a_1 = 1$ ahora. Esto abre muchas posibilidades.

El trabajo de casos específicos debería funcionar:

Casos 1-1: $a_2 = 10$ entonces las posibilidades son: $a_1 = 1, a_0 = 0$ o $a_1 = 0, a_0 = 10$

En realidad, creo que la forma teórica de los números es más fácil.

Pero aún así.

Caso 1: $a_1 = 1$ entonces debemos resolver:

$100x + 10y + z = 1010$ .

Desde $0 \le x \le 10$ podemos trabajar en casos $x$ para que:

Caso 1-1: $x = 0$ . Así que:

$10y + z = 1010 \implies z \equiv 0 \pmod{10}, z = 10k$ y $y = 101 - k$ .

Por lo tanto, $(0, 101 - k, 10k)$ . $\min{k} = 0 $ y necesitamos encontrar el máximo de $k$ . Debemos tener, $101 - k \le 99$ y $10k \le 99$ . Esto sugiere, $k \le 9$ .

Casos 1-2: $x=1$ . Así que:

$10y + z = 910 \implies z \equiv 0 \pmod{10}$ Otra vez, $z = 10k$ y $y = 91 - k$ . Dando un conjunto de $(1, 91 - k, 10k)$ aquí de nuevo, $\min{k} = 0$ y $10k \le 99$ así que $k \le 9$ .

Estoy conjeturando que como siempre estamos aumentando $x$ el valor del lado derecho siempre será divisible por $10$ .

$x = 9$ para que:

$10y + z = 110 \implies z = 10k$ y $y = 11 - k$ que de nuevo hay $9$ valores.

Excepto si $x=10$ entonces sí: $10y + z = 10$ entonces $z = 10k$ y $y = 1 - k$ . Entonces $k$ debe ser $1$ .

Así es: $10(9) + 1 + 2 = 93$ soluciones totales.

¡Esto es sólo un intento!

Bump: ¿alguien tiene algo?

Answer 1

La función generadora de estas representaciones es

$$ \frac{x^{100\cdot1000}-1}{x^{1000}-1}\cdot\frac{x^{100\cdot100}-1}{x^{100}-1}\cdot\frac{x^{100\cdot10}-1}{x^{10}-1}\cdot\frac{x^{100}-1}{x-1}=\frac{x^{100000}-1}{x^{10}-1}\cdot\frac{x^{10000}-1}{x-1}\;, $$

que es también la función generadora de las representaciones de la forma $b_1\cdot10+b_0$ con $0\le b_i\le9999$ . Como esta última restricción es irrelevante para las representaciones de $2010$ simplemente buscamos el número de formas de representar $2010$ por decenas y unidades. Podemos tener desde $0$ a $201$ decenas, por lo que el número de estas representaciones es $202$ .

En respuesta a la respuesta de Calvin Lin : La cancelación en las funciones generadoras corresponde a una biyección entre las dos formas de representación, con $b_1=100a_3+a_1$ y $b_0=100a_2+a_0$ .

Answer 2

Es más fácil empezar desde el otro extremo. Primero observamos que $a_0$ puede ser cualquier múltiplo de $10$ de $0$ a través de $90$ . Hay, por supuesto, diez valores de este tipo.

Entonces $a_1$ puede ser cualquier valor de uno o dos dígitos equivalente a $11-(a_0/10) \bmod 10$ . De nuevo, hay diez valores de este tipo.

Las opciones de $a_2$ están mucho más limitados por el hecho de que la suma de objetivos es sólo $2010$ . ¿En qué casos hay dos valores diferentes? ¿En qué casos hay tres?

Una vez $a_0, a_1, a_2$ se han decidido, sólo hay un valor utilizable de $a_3$ .

Answer 3

Aquí está el biyección enfoque, que se insinúa en la solución de Joriki.

Dejemos que $a_i = 10 b_i + c_i$ , donde $ 0 \leq c_i \leq 9$ , $ 0 \leq b_i \leq 9$ .

Entonces, tenemos

$$2010 = 10 (1000b_3 + 100 b_2 + 10b_1 + b_0) + ( 1000 c_3 + 100 c_2 + 10 c_1 + c_0)$$

Así, dada cualquier representación de $2010 = 10 B + C $ hay una única correspondencia $b_i, c_i$ (claramente los dígitos de B y C) que podemos crear, y viceversa. Esto establece la biyección. Por lo tanto, la respuesta es 202.

Answer 4

En resumen tenemos que calcular el número de soluciones enteras de la ecuación diofantina $$1000x+100y+10z+w=2010$$ con las condiciones $0\leq x,y,z,w \leq 99$ . Tenemos $0\leq x\leq 2$ que da las tres ecuaciones $$(1)……100y+10z+w=2010$$ $$(2)……100y+10z+w=1010$$ $$(3)……100y+10z+w=10$$ La ecuación (3) sólo da dos soluciones $(2,0,1,0)$ y $(2,0,0,10)$ .

Queda por calcular las soluciones de (1) y (2). Tenemos para $w$ sólo diez valores posibles $w=0,10,20,30,40,50,60,70,80,90$ que da para (1) las diez ecuaciones $ (1’)……100y+10z=2010,2000,1990,1980,1970,1960,1950,1940,1930,1920$ es decir $$(1’)……10y+z=201,200,199,198,197,196,195,194,193,192$$ Y para (2) las diez ecuaciones $(2’)……100y+10z=1010,1000,990,980,970,960,950,940,930,920$ es decir $$(2’)………10y+z=101,100,99,98,97,96,95,94,93,92$$

La primera ecuación de (1'), $10y+z=201$ , da para $z$ sólo los diez valores posibles $1,11,21,31,41,51,61,71,81,91$ con los correspondientes valores únicos de y respectivamente iguales a $20,19,18,17,16,15,14,13,12,11$ así que diez soluciones.

El segundo, $10y+z=200$ hace $z=0,10,20,30,40,50,60,70,80,90$ que da para $y$ los valores $20,19,18,17,16,15,14,13,12,11$ así que diez soluciones.

Persiguiendo, $10y+z=199$ hace $z=9,19,29,……….,99$ que dan diez soluciones y así son para los valores restantes $198,197,196,195,194,193,192$ .

Así, las diez ecuaciones (1') dan cien soluciones . El mismo procedimiento se aplica a diez ecuaciones (2') que dan entonces cien soluciones.

Finalmente tenemos $2+100+100=202$ soluciones.

Answer 5

He aquí una solución que no es especialmente elegante pero que da la respuesta correcta (comprobada por fuerza bruta).

En primer lugar, exprese cada coeficiente de forma única como $b_i\cdot 10 + a_i$ .

$2010 = b_3 \cdot 10^4 + a_3 \cdot 10^3 + b_2 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + b_1 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + b_0 \cdot 10 + a_0$ .

Debemos tener $b_3 = 0, a_0 = 0$ Así que

$201 = (a_3 + b_2) \cdot 10^2 + (a_2 + b_1) \cdot 10^1 + (a_1 + b_0)$ .

Cada coeficiente está en $0, \ldots, 18$ .

Si $a_3 + b_2 = 1$ entonces $101 = (a_2 + b_1) \cdot 10^1 + (a_1 + b_0)$ . Tenemos $a_2 + b_1 = 9, a_1 + b_0 = 11$ o $a_2 + b_1 = 10, a_1 + b_0 = 1$ Esto da como resultado $2 \cdot (10 \cdot 8 + 9 \cdot 2) = 196$ soluciones.

Si $a_3 + b_2 = 2$ entonces $1 = (a_2 + b_1) \cdot 10^1 + (a_1 + b_0)$ . Tenemos $a_2 + b_1 = 0, a_1 + b_0 = 1$ Esto da como resultado $3 \cdot 2 = 6$ soluciones.

Así que juntos tenemos 202 soluciones.