¿Por qué un subgrupo normal de$G_1\times G_2$ con intersecciones triviales con$G_1$ y$G_2$ es abelian?

Question

Permita que$G=G_1\times G_2$ sea un producto directo, y permita que$H\triangleleft G$ sea un subgrupo normal tal que$H\cap G_1=H\cap G_2=\{1\}.$ Then$H$ sea abelian.

Consideré los conmutadores de dos elementos en$H$, tratando de mostrar que debe ser$1,$, pero no veo cómo funciona esto.
Cualquier sugerencia es muy bienvenida y apreciada. Gracias por adelantado.

Answer 1

Teorema Si $N \unlhd G_1 \times G_2$, entonces cualquiera de las $N \subseteq Z(G_1 \times G_2)$ o $N$ cruza uno de los factores $G_1$ o $G_2$ no trivialmente.

Prueba. Suponga que $N \cap (G_1 \times$ {$1$}$)$ = {$(1,1)$} = $N \cap$({$1$} $\times$ $G_2)$. Vamos a mostrar que N está contenida en el centro de la $G_1 \times G_2$. Revisión arbitraria $(n_1,n_2) \in N$. Deje $g_1 \in G_1$. Desde $N$ es normal, $(g_1,1)^{-1}·(n_1,n_2)·(g_1,1) = (g_1^{-1}n_1g_1, n_2) \in N.$ Obviamente $(n_1,n_2)^{-1} = (n_1^{-1},n_2^{-1}) \in N$. De ello se sigue que el producto $(n_1^{-1},n_2^{-1})·(g_1^{-1}n_1g_1, n_2) = (n_1^{-1}g_1^{-1}n_1g_1, 1) \in N$. Sin embargo, $N$ cruza $G_1 \times$ {$1$} trivialmente, de donde $n_1^{-1}g_1^{-1}n_1g_1 = 1$, $n_1$ viajes con todos los $g_1 \in G_1$. Del mismo modo, $n_2$ viajes con todos los $g_2 \in G_2$. Esto significa que $(n_1,n_2) \in Z(G_1) \times Z(G_2) = Z(G_1 \times G_2)$. $\square$