¿Cómo usar el Método Delta mientras que la derivada de primer orden es cero?

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_method
En el artículo de Wikipedia, se supuso que$g'(\theta)$ debe existir y que$g'(\theta)$ tiene un valor distinto de cero.
¿Es posible encontrar la distribución asintótica para$\sqrt{n}(g(X_n)-g(\theta))$
dado que$g'(\theta)$ podría ser cero y$\sqrt{n}(X_n-\theta) \stackrel{d}{\rightarrow} N(0,\sigma^2)$?

Answer 1

Utiliza el método delta de segundo orden.

Flojamente:

$g(X_n)=g(\theta+X_n-\theta)=g(\theta)+(X_n-\theta)g'(\theta)+(X_n-\theta)^2/2\cdot g''(\theta)+o_p(1)$

Asi que $g(X_n)-g(\theta)= \frac{g''(\theta)}{2} (X_n-\theta)^2 +o_p(1)$

Pero $n(X_n-\theta)^2/\sigma^2\stackrel{d}{\to} \chi^2_1$

... Etcétera.