Demostrar que$R$ es un anillo Noetherian

Question

$R$ es un anillo y$I$ es un ideal nilpotent generado finitamente. Si$R/I$ es noetherian, demuestre que$R$ es noetherian.

Answer 1

Desde $I$ es nilpotent y finitely generado, existe $n$ tal que $I^n = 0$. Por lo tanto es suficiente para mostrar que $R/I^k$ es un Noetherian $R$-módulo para cada $k$, lo que se puede hacer por inducción.

Para $k = 1$, tenga en cuenta que $R/I$ es Noetherian como un $R/I$-módulo, por tanto, también como un $R$-módulo (módulo de estructuras son las mismas). Siguiente, observe que para cada $k$, $I^k/I^{k+1}$ es finitely generado y ha $R$-annihilator igual a $I$, y es por tanto una Noetherian $R$-módulo. Por último, hay una breve secuencia exacta de $R$-módulos

$$0 \to I^k/I^{k+1} \to R/I^{k+1} \to R/I^k \to 0$$

El primer término es siempre Noetherian, y el último término es Noetherian por inducción, por lo que el término medio es Noetherian así.

Answer 2

Por el teorema de Cohen, $R$ es Noetherian iff todo su primer ideales son finitely generado.

Desde $I$ es nilpotent, el primer ideales de $R/I$ corresponden a los de $R$ a través de la proyección de $R\to R/I$, y son de la forma $P/I$ para varios primos $P$. Hacemos uso de este último hecho de mostrar que todos los $P$ son finitely generadas $R$ ideales.

Deje $p$ en prime $P$. Desde $P/I$ es finitely generadas $R/I$ módulo, hay un conjunto de $\{x_i+I\mid 1\leq i\leq n\}\subseteq P/I$ tal que $p+I=\sum (x_i+I)(r_i+I)$ mod $I$, para algunas de las $r_i\in R$, es decir,$p-\sum x_ir_i\in I$.

El uso de un número finito de generación del sistema $\{y_j\mid1\leq j\leq m\}$ $I$ $R$ módulo, entonces tenemos que $p-\sum x_ir_i=\sum y_js_j\in I$ algunos $s_j\in R$. Reordenando, obtenemos que $p=\sum x_ir_i + \sum y_js_j$. Esto demuestra que el $x_i$s y $y_j$s generar $P$ $R$- módulo.

Por el teorema de Cohen, hemos terminado.