La función armónica como parte real de cualquier función analítica

Question

Yo denotar con $\phi(x,y)$ un hamornic función. Me gustaría mostrar que $\phi$ es la parte real de cualquier analítica de la función $f(z)$ de la forma $$f(z)=2\phi\left(\frac{z+1}{2},\frac{z-1}{2i}\right)-\phi(1,0)+ic$$ donde c es una constante real y siempre que la RHS existe.

Mi idea era estudiar los $$g(z,\bar{z})=\phi\left(\frac{1}{2}(z+\bar{z}),\frac{1}{2i}(z-\bar{z})\right)+i\psi\left(\frac{1}{2}(z+\bar{z}),\frac{1}{2i}(z-\bar{z})\right)$$

y establecer esta igual a$f(z)=g(z,\bar{z})$$\bar{z}=1$, pero es esto útil?

Observación: En el final, me gustaría encontrar una analítica de la función cuya parte real es de $\tan^{-1}y/x$, mis notas de la conferencia de los estados que la función obvia es $-i\log z$ pero no veo por qué esto es tan obvio.

Answer 1

A menos que me estoy perdiendo algo, tu pregunta tiene mucho sentido para mí:

• $\phi\left(\frac{z+1}{2},\frac{z-1}{2i}\right)$ no está definido desde $\phi(x,y)$ sólo existe para $x$ $y$ real
• Su función de candidato $f$ tiene parte imaginaria de la constante, lo cual es imposible para un no constante holomorphic función.

Es un clásico de hecho o de ejercicio que un armónico de la función es (al menos localmente) la parte real de un holomorphic función, y que este holomorphic función es única, hasta un (puramente imaginaria) aditivo constante (y esta función se parece a nada de lo que escribiste). Usted debe tratar de hacer este ejercicio (uso la de Cauchy-Riemann ecuaciones), sería instructivo.

En cuanto a tu ejemplo, me puede explicar a usted: recordar el principal valor del logaritmo es $\log z = \ln |z| + i \operatorname{Arg}(z)$ ( $z \notin \mathbb{R}_-$ ), donde $\operatorname{Arg}(z)$ es el principal argumento de valor de $z$, es decir, en $(-\pi, \pi]$. En su problema, estoy asumiendo que usted está trabajando en el semiplano $H = \{z\in \mathbb{C}, ~\operatorname{Re}(z)>0\}$. Para $z \in H$, no es difícil comprobar que $\operatorname{Arg}(z) = \tan^{-1}(y/x)$ donde $z = x+iy$. De ello se desprende que $\operatorname{Re}(-i\log(z)) = \operatorname{Arg}(z) = \tan^{-1}(y/x)$.

Answer 2

Tu primera frase debe decir "... es la parte real de algunos analítica de la función...".

Como Seub dijo, su primera fórmula no tiene sentido. Su segunda fórmula tiene sentido, pero la RHS depende sólo de $z$ ($\bar{z}$ es el conjugado de a $z$!), por lo $\bar{z}=1$ es absurdo.

La solución más habitual es tomar $g=\phi_x-i\phi_y$ (el presunto derivado de la $f=\phi+i\psi$), comprobar analiticity con Cauchy-Riemann e integrar (calcular una primitiva). Advertencia: la topología del dominio es importante, ya que su ejemplo demuestra.