Curva elíptica compleja para el enrejado "conjugado"

Question

Permita que$\Lambda$ sea un enrejado en$\mathbb{C}$, y$E=\mathbb{C}/\Lambda$ en la curva elíptica compleja correspondiente. Deje que$\bar{\Lambda}$ sea la retícula "conjugada", es decir, la que se obtiene al conjugar (como números complejos) los puntos de$\Lambda$.

¿Se puede decir algo "interesante" sobre la relación entre$E$ y$E':=\mathbb{C}/\bar{\Lambda}$?

Answer 1

Sí. El$j$ - invariante de$E'$ es el conjugado complejo del$j$ - invariante de$E$. En particular,$j(E) \in \mathbb{R} \iff$$\overline{\Lambda}$ es homotético a$\Lambda$.

Puede usar este hecho para ver que para cada orden cuadrática imaginaria$\mathcal{O}$, hay un$\mathcal{O}$ - CM curva elíptica$E$ con real$j$ - invariante: tomar$E = \mathbb{C}/\mathcal{O}$. En otros términos, esto muestra que para cualquier discriminante$D$, el polinomio modular$P_D(t) \in \mathbb{Z}[t]$ tiene al menos una raíz real.